{l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

గుణకారాలు చేయండి.

$$4x+3y=12-12$$

0ని పొందడం కోసం 12ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x+3y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 20తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

2x+yతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

y-2తో -10ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-6yని పొందడం కోసం 4y మరియు -10yని జత చేయండి.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

x+y-3తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

y-x-1తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

3yని పొందడం కోసం 5y మరియు -2yని జత చేయండి.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

7xని పొందడం కోసం 5x మరియు 2xని జత చేయండి.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13ని పొందడం కోసం -15 మరియు 2ని కూడండి.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

రెండు భాగాల నుండి 7xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

xని పొందడం కోసం 8x మరియు -7xని జత చేయండి.

$$x-6y+20=3y-13$$

రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-9yని పొందడం కోసం -6y మరియు -3yని జత చేయండి.

$$x-9y+20=-13$$

రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-9y=-13-20$$

-33ని పొందడం కోసం 20ని -13 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-9y=-33$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+3y=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-3y$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

\frac{1}{4} సార్లు -3yని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{3y}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x-9y=-33.

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

-9yకు -\frac{3y}{4}ని కూడండి.

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{39}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{44}{13}$$

x=-\frac{3}{4}yలో yను \frac{44}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{3}{4} సార్లు \frac{44}{13}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{33}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

గుణకారాలు చేయండి.

$$4x+3y=12-12$$

0ని పొందడం కోసం 12ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x+3y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 20తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

2x+yతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

y-2తో -10ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-6yని పొందడం కోసం 4y మరియు -10yని జత చేయండి.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

x+y-3తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

y-x-1తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

3yని పొందడం కోసం 5y మరియు -2yని జత చేయండి.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

7xని పొందడం కోసం 5x మరియు 2xని జత చేయండి.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13ని పొందడం కోసం -15 మరియు 2ని కూడండి.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

రెండు భాగాల నుండి 7xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

xని పొందడం కోసం 8x మరియు -7xని జత చేయండి.

$$x-6y+20=3y-13$$

రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-9yని పొందడం కోసం -6y మరియు -3yని జత చేయండి.

$$x-9y+20=-13$$

రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-9y=-13-20$$

-33ని పొందడం కోసం 20ని -13 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-9y=-33$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

గుణకారాలు చేయండి.

$$4x+3y=12-12$$

0ని పొందడం కోసం 12ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x+3y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 20తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

2x+yతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

y-2తో -10ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-6yని పొందడం కోసం 4y మరియు -10yని జత చేయండి.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

x+y-3తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

y-x-1తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

3yని పొందడం కోసం 5y మరియు -2yని జత చేయండి.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

7xని పొందడం కోసం 5x మరియు 2xని జత చేయండి.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13ని పొందడం కోసం -15 మరియు 2ని కూడండి.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

రెండు భాగాల నుండి 7xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

xని పొందడం కోసం 8x మరియు -7xని జత చేయండి.

$$x-6y+20=3y-13$$

రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-9yని పొందడం కోసం -6y మరియు -3yని జత చేయండి.

$$x-9y+20=-13$$

రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-9y=-13-20$$

-33ని పొందడం కోసం 20ని -13 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-9y=-33$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

4x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 4x-36y=-132ని 4x+3y=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x-4x+3y+36y=132$$

-4xకు 4xని కూడండి. 4x మరియు -4x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3y+36y=132$$

36yకు 3yని కూడండి.

$$39y=132$$

రెండు వైపులా 39తో భాగించండి.

$$y=\frac{44}{13}$$

x-9y=-33లో yను \frac{44}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

-9 సార్లు \frac{44}{13}ని గుణించండి.

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{396}{13}ని కూడండి.

$$x=-\frac{33}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$