{l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

ప్రతిక్షేపణను మరియు చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 4,3.

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+1తో kని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$y=kx+k$$

మరొక సమీకరణములో yను kx+k స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x^{2}+4y^{2}=12.

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

kx+k వర్గము.

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

4 సార్లు k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}ని గుణించండి.

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

4k^{2}x^{2}కు 3x^{2}ని కూడండి.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 12ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 3+4k^{2}, b స్థానంలో 4\times 2kk మరియు c స్థానంలో 4k^{2}-12 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

4\times 2kk వర్గము.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-4 సార్లు 3+4k^{2}ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-12-16k^{2} సార్లు 4k^{2}-12ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144+144k^{2}-64k^{4}కు 64k^{4}ని కూడండి.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144k^{2}+144 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

2 సార్లు 3+4k^{2}ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 12\sqrt{k^{2}+1}కు -8k^{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

6+8k^{2}తో -8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}ని భాగించండి.

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 12\sqrt{k^{2}+1}ని -8k^{2} నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

6+8k^{2}తో -8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}ని భాగించండి.

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x కోసం రెండు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి: \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} మరియు -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}. సమీకరణం y=kx+kలో \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} బదులుగా xతో ప్రతిక్షేపించండి మరియు రెండు సమీకరణాలకు సరిపోయే విధంగా yకు సంబంధితంగా ఉండే విలువను కనుగొనండి.

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

k సార్లు \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}}ని గుణించండి.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

ఇప్పుడు సమీకరణము y=kx+kలో -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} బదులుగా xతో ప్రతిక్షేపించండి మరియు రెండు సమీకరణములకు సరిపోయే విధంగా yకు సంబంధితంగా ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

k సార్లు -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}ని గుణించండి.

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x, yని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$