{l}{3x+5y/6=-5}{2(x+7)+3y=-5} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x + 5 y } { 6 } = - 5 } \\ { 2 ( x + 7 ) + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-5$$

$$y=-3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 6తో గుణించండి.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-30ని పొందడం కోసం -5 మరియు 6ని గుణించండి.

$$3x+5y=-30$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+7తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+14+3y=-5$$

రెండు భాగాల నుండి 14ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=-5-14$$

-19ని పొందడం కోసం 14ని -5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=-19$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+5y=-30$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-5y-30$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-30\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -5y-30ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{3}y-10$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{5y}{3}-10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+3y=-19.

$$2\left(-\frac{5}{3}y-10\right)+3y=-19$$

2 సార్లు -\frac{5y}{3}-10ని గుణించండి.

$$-\frac{10}{3}y-20+3y=-19$$

3yకు -\frac{10y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{3}y-20=-19$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 20ని కూడండి.

$$-\frac{1}{3}y=1$$

రెండు వైపులా -3తో గుణించండి.

$$y=-3$$

x=-\frac{5}{3}y-10లో yను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-10$$

-\frac{5}{3} సార్లు -3ని గుణించండి.

$$x=5-10$$

5కు -10ని కూడండి.

$$x=-5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-5,y=-3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 6తో గుణించండి.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-30ని పొందడం కోసం -5 మరియు 6ని గుణించండి.

$$3x+5y=-30$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+7తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+14+3y=-5$$

రెండు భాగాల నుండి 14ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=-5-14$$

-19ని పొందడం కోసం 14ని -5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=-19$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-30\right)+5\left(-19\right)\\2\left(-30\right)-3\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-5,y=-3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 6తో గుణించండి.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-30ని పొందడం కోసం -5 మరియు 6ని గుణించండి.

$$3x+5y=-30$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+7తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+14+3y=-5$$

రెండు భాగాల నుండి 14ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=-5-14$$

-19ని పొందడం కోసం 14ని -5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=-19$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

3x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-30\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-19\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6x+10y=-60,6x+9y=-57$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6x+9y=-57ని 6x+10y=-60 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-6x+10y-9y=-60+57$$

-6xకు 6xని కూడండి. 6x మరియు -6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$10y-9y=-60+57$$

-9yకు 10yని కూడండి.

$$y=-60+57$$

57కు -60ని కూడండి.

$$y=-3$$

2x+3y=-19లో yను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+3\left(-3\right)=-19$$

3 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$2x-9=-19$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 9ని కూడండి.

$$2x=-10$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=-5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-5,y=-3$$