{l}{1/2x-4y=30}{y-2x=15} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - 4 y = 30 } \\ { y - 2 x = 15 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-12$$

$$y=-9$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$\frac{1}{2}x-4y=30,-2x+y=15$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$\frac{1}{2}x-4y=30$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4yని కూడండి.

$$\frac{1}{2}x=4y+30$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$x=2\left(4y+30\right)$$

2 సార్లు 4y+30ని గుణించండి.

$$x=8y+60$$

మరొక సమీకరణములో xను 8y+60 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -2x+y=15.

$$-2\left(8y+60\right)+y=15$$

-2 సార్లు 8y+60ని గుణించండి.

$$-16y-120+y=15$$

yకు -16yని కూడండి.

$$-15y-120=15$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 120ని కూడండి.

$$-15y=135$$

రెండు వైపులా -15తో భాగించండి.

$$y=-9$$

x=8y+60లో yను -9 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=8\left(-9\right)+60$$

8 సార్లు -9ని గుణించండి.

$$x=-72+60$$

-72కు 60ని కూడండి.

$$x=-12$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-12,y=-9$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$\frac{1}{2}x-4y=30,-2x+y=15$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&-\frac{8}{15}\\-\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\15\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 30-\frac{8}{15}\times 15\\-\frac{4}{15}\times 30-\frac{1}{15}\times 15\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-9\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-12,y=-9$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$\frac{1}{2}x-4y=30,-2x+y=15$$

\frac{x}{2} మరియు -2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను \frac{1}{2}తో గుణించండి.

$$-2\times \frac{1}{2}x-2\left(-4\right)y=-2\times 30,\frac{1}{2}\left(-2\right)x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\times 15$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-x+8y=-60,-x+\frac{1}{2}y=\frac{15}{2}$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -x+\frac{1}{2}y=\frac{15}{2}ని -x+8y=-60 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x+x+8y-\frac{1}{2}y=-60-\frac{15}{2}$$

xకు -xని కూడండి. -x మరియు x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$8y-\frac{1}{2}y=-60-\frac{15}{2}$$

-\frac{y}{2}కు 8yని కూడండి.

$$\frac{15}{2}y=-60-\frac{15}{2}$$

-\frac{15}{2}కు -60ని కూడండి.

$$\frac{15}{2}y=-\frac{135}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{15}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-9$$

-2x+y=15లో yను -9 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-2x-9=15$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 9ని కూడండి.

$$-2x=24$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=-12$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-12,y=-9$$