{c}{-2y-3z+2=0}{y+z+3=0} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 2 y - 3 z + 2 = 0 } \\ { y + z + 3 = 0 } \end{array} \right.$$

y, zని పరిష్కరించండి

$$y=-11$$

$$z=8$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-2y-3z+2=0,y+z+3=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$-2y-3z+2=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2y-3z=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3zని కూడండి.

$$-2y=3z-2$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$y=-\frac{1}{2}\left(3z-2\right)$$

-\frac{1}{2} సార్లు 3z-2ని గుణించండి.

$$y=-\frac{3}{2}z+1$$

మరొక సమీకరణములో yను -\frac{3z}{2}+1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y+z+3=0.

$$-\frac{3}{2}z+1+z+3=0$$

zకు -\frac{3z}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{2}z+1+3=0$$

3కు 1ని కూడండి.

$$-\frac{1}{2}z+4=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{1}{2}z=-4$$

రెండు వైపులా -2తో గుణించండి.

$$z=8$$

y=-\frac{3}{2}z+1లో zను 8 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=-\frac{3}{2}\times 8+1$$

-\frac{3}{2} సార్లు 8ని గుణించండి.

$$y=-12+1$$

-12కు 1ని కూడండి.

$$y=-11$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-11,z=8$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-2y-3z+2=0,y+z+3=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+3\left(-3\right)\\-\left(-2\right)-2\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\8\end{matrix}\right)$$

y మరియు z మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=-11,z=8$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-2y-3z+2=0,y+z+3=0$$

-2y మరియు yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి.

$$-2y-3z+2=0,-2y-2z-2\times 3=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-2y-3z+2=0,-2y-2z-6=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -2y-2z-6=0ని -2y-3z+2=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2y+2y-3z+2z+2+6=0$$

2yకు -2yని కూడండి. -2y మరియు 2y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-3z+2z+2+6=0$$

2zకు -3zని కూడండి.

$$-z+2+6=0$$

6కు 2ని కూడండి.

$$-z+8=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-z=-8$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$z=8$$

y+z+3=0లో zను 8 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y+8+3=0$$

3కు 8ని కూడండి.

$$y+11=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 11ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-11$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-11,z=8$$