1/x-3+18/x^2-9=x/x+3 పరిష్కరించండి

$$\frac{ 1 }{ x-3 } + \frac{ 18 }{ { x }^{ 2 } -9 } = \frac{ x }{ x+3 }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=7$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -3,3 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x-3\right)\left(x+3\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

21ని పొందడం కోసం 3 మరియు 18ని కూడండి.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

xతో x-3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x+21=x^{2}-3x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

రెండు వైపులా 3xని జోడించండి.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

4xని పొందడం కోసం x మరియు 3xని జత చేయండి.

$$4x+21-x^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -x^{2}+ax+bx+21 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=4 ab=-21=-21$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -21ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,21 -3,7$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

సమ్ 4ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=7 b=-3$$

\left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right)ని -x^{2}+4x+21 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right)$$

మొదటి సమూహంలో -x మరియు రెండవ సమూహంలో -3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-x\left(x-7\right)-3\left(x-7\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-7ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-7\right)\left(-x-3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-7=0 మరియు -x-3=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=7 x=-3$$

వేరియబుల్ x అన్నది -3కి సమానంగా ఉండకూడదు.

$$x=7$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -3,3 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x-3\right)\left(x+3\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

21ని పొందడం కోసం 3 మరియు 18ని కూడండి.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

xతో x-3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x+21=x^{2}-3x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

రెండు వైపులా 3xని జోడించండి.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

4xని పొందడం కోసం x మరియు 3xని జత చేయండి.

$$4x+21-x^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -1, b స్థానంలో 4 మరియు c స్థానంలో 21 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

4 వర్గము.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

-4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

4 సార్లు 21ని గుణించండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\left(-1\right)}$$

84కు 16ని కూడండి.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

100 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-4±10}{2\left(-1\right)}$$

2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-4±10}{-2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-4±10}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 10కు -4ని కూడండి.

$$x=\frac{6}{-2}$$

-2తో 6ని భాగించండి.

$$x=-3$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-4±10}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 10ని -4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{14}{-2}$$

-2తో -14ని భాగించండి.

$$x=7$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-3 x=7$$

వేరియబుల్ x అన్నది -3కి సమానంగా ఉండకూడదు.

$$x=7$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -3,3 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x-3\right)\left(x+3\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

21ని పొందడం కోసం 3 మరియు 18ని కూడండి.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

xతో x-3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x+21=x^{2}-3x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

రెండు వైపులా 3xని జోడించండి.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

4xని పొందడం కోసం x మరియు 3xని జత చేయండి.

$$4x+21-x^{2}=0$$

రెండు భాగాల నుండి 21ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$4x-x^{2}=-21$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-x^{2}+4x=-21$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{21}{-1}$$

-1తో భాగించడం ద్వారా -1 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{21}{-1}$$

-1తో 4ని భాగించండి.

$$x^{2}-4x=-\frac{21}{-1}$$

-1తో -21ని భాగించండి.

$$x^{2}-4x=21$$

x రాశి యొక్క గుణకము -4ని 2తో భాగించి -2ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -2 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

-2 వర్గము.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

4కు 21ని కూడండి.

$$x^{2}-4x+4=25$$

కారకం x^{2}-4x+4. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-2=5 x-2=-5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$x=7 x=-3$$

వేరియబుల్ x అన్నది -3కి సమానంగా ఉండకూడదు.

$$x=7$$