7/x-3-10/x-2-6/x-1=0 పరిష్కరించండి

$$\frac { 7 } { x - 3 } - \frac { 10 } { x - 2 } - \frac { 6 } { x - 1 } = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$x = \frac{13}{9} = 1\frac{4}{9} \approx 1.444444444$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది 1,2,3 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x-3,x-2,x-1.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

x-2ని x-1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(x^{2}-3x+2\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

7తో x^{2}-3x+2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

x-3ని x-1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x^{2}-4x+3\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

10తో x^{2}-4x+3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x^{2}-21x+14-\left(10x^{2}-40x+30\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

10x^{2}-40x+30 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$7x^{2}-21x+14-10x^{2}+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

-3x^{2}ని పొందడం కోసం 7x^{2} మరియు -10x^{2}ని జత చేయండి.

$$-3x^{2}-21x+14+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

19xని పొందడం కోసం -21x మరియు 40xని జత చేయండి.

$$-3x^{2}+19x+14-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

-16ని పొందడం కోసం 30ని 14 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

x-3ని x-2ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)\times 6=0$$

6తో x^{2}-5x+6ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(6x^{2}-30x+36\right)=0$$

6x^{2}-30x+36 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$-3x^{2}+19x-16-6x^{2}+30x-36=0$$

-9x^{2}ని పొందడం కోసం -3x^{2} మరియు -6x^{2}ని జత చేయండి.

$$-9x^{2}+19x-16+30x-36=0$$

49xని పొందడం కోసం 19x మరియు 30xని జత చేయండి.

$$-9x^{2}+49x-16-36=0$$

-52ని పొందడం కోసం 36ని -16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9x^{2}+49x-52=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -9x^{2}+ax+bx-52 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=49 ab=-9\left(-52\right)=468$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 468ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,468 2,234 3,156 4,117 6,78 9,52 12,39 13,36 18,26$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+468=469 2+234=236 3+156=159 4+117=121 6+78=84 9+52=61 12+39=51 13+36=49 18+26=44$$

సమ్ 49ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=36 b=13$$

\left(-9x^{2}+36x\right)+\left(13x-52\right)ని -9x^{2}+49x-52 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-9x^{2}+36x\right)+\left(13x-52\right)$$

మొదటి సమూహంలో 9x మరియు రెండవ సమూహంలో -13 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$9x\left(-x+4\right)-13\left(-x+4\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ -x+4ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(-x+4\right)\left(9x-13\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, -x+4=0 మరియు 9x-13=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=4 x=\frac{13}{9}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది 1,2,3 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x-3,x-2,x-1.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

x-2ని x-1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(x^{2}-3x+2\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

7తో x^{2}-3x+2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

x-3ని x-1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x^{2}-4x+3\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

10తో x^{2}-4x+3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x^{2}-21x+14-\left(10x^{2}-40x+30\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

10x^{2}-40x+30 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$7x^{2}-21x+14-10x^{2}+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

-3x^{2}ని పొందడం కోసం 7x^{2} మరియు -10x^{2}ని జత చేయండి.

$$-3x^{2}-21x+14+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

19xని పొందడం కోసం -21x మరియు 40xని జత చేయండి.

$$-3x^{2}+19x+14-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

-16ని పొందడం కోసం 30ని 14 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

x-3ని x-2ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)\times 6=0$$

6తో x^{2}-5x+6ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(6x^{2}-30x+36\right)=0$$

6x^{2}-30x+36 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$-3x^{2}+19x-16-6x^{2}+30x-36=0$$

-9x^{2}ని పొందడం కోసం -3x^{2} మరియు -6x^{2}ని జత చేయండి.

$$-9x^{2}+19x-16+30x-36=0$$

49xని పొందడం కోసం 19x మరియు 30xని జత చేయండి.

$$-9x^{2}+49x-16-36=0$$

-52ని పొందడం కోసం 36ని -16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9x^{2}+49x-52=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -9, b స్థానంలో 49 మరియు c స్థానంలో -52 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-49±\sqrt{49^{2}-4\left(-9\right)\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}$$

49 వర్గము.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-4\left(-9\right)\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}$$

-4 సార్లు -9ని గుణించండి.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401+36\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}$$

36 సార్లు -52ని గుణించండి.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-1872}}{2\left(-9\right)}$$

-1872కు 2401ని కూడండి.

$$x=\frac{-49±\sqrt{529}}{2\left(-9\right)}$$

529 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-49±23}{2\left(-9\right)}$$

2 సార్లు -9ని గుణించండి.

$$x=\frac{-49±23}{-18}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-49±23}{-18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 23కు -49ని కూడండి.

$$x=-\frac{26}{-18}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{-26}{-18} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{13}{9}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-49±23}{-18} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 23ని -49 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{72}{-18}$$

-18తో -72ని భాగించండి.

$$x=4$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{13}{9} x=4$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది 1,2,3 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x-3,x-2,x-1.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

x-2ని x-1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(x^{2}-3x+2\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

7తో x^{2}-3x+2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

x-3ని x-1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x^{2}-4x+3\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

10తో x^{2}-4x+3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$7x^{2}-21x+14-\left(10x^{2}-40x+30\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

10x^{2}-40x+30 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$7x^{2}-21x+14-10x^{2}+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

-3x^{2}ని పొందడం కోసం 7x^{2} మరియు -10x^{2}ని జత చేయండి.

$$-3x^{2}-21x+14+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

19xని పొందడం కోసం -21x మరియు 40xని జత చేయండి.

$$-3x^{2}+19x+14-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

-16ని పొందడం కోసం 30ని 14 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

x-3ని x-2ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)\times 6=0$$

6తో x^{2}-5x+6ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(6x^{2}-30x+36\right)=0$$

6x^{2}-30x+36 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$-3x^{2}+19x-16-6x^{2}+30x-36=0$$

-9x^{2}ని పొందడం కోసం -3x^{2} మరియు -6x^{2}ని జత చేయండి.

$$-9x^{2}+19x-16+30x-36=0$$

49xని పొందడం కోసం 19x మరియు 30xని జత చేయండి.

$$-9x^{2}+49x-16-36=0$$

-52ని పొందడం కోసం 36ని -16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9x^{2}+49x-52=0$$

రెండు వైపులా 52ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$-9x^{2}+49x=52$$

రెండు వైపులా -9తో భాగించండి.

$$\frac{-9x^{2}+49x}{-9}=\frac{52}{-9}$$

-9తో భాగించడం ద్వారా -9 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{49}{-9}x=\frac{52}{-9}$$

-9తో 49ని భాగించండి.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x=\frac{52}{-9}$$

-9తో 52ని భాగించండి.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x=-\frac{52}{9}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{49}{9}ని 2తో భాగించి -\frac{49}{18}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{49}{18} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x+\left(-\frac{49}{18}\right)^{2}=-\frac{52}{9}+\left(-\frac{49}{18}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{49}{18}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}=-\frac{52}{9}+\frac{2401}{324}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{2401}{324}కు -\frac{52}{9}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}=\frac{529}{324}$$

కారకం x^{2}-\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{49}{18}\right)^{2}=\frac{529}{324}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{49}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{324}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{49}{18}=\frac{23}{18} x-\frac{49}{18}=-\frac{23}{18}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{49}{18}ని కూడండి.

$$x=4 x=\frac{13}{9}$$