2/x+15/x+6=1 పరిష్కరించండి

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-1$$

$$x=12$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -6,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా x\left(x+6\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

2తో x+6ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

17xని పొందడం కోసం 2x మరియు x\times 15ని జత చేయండి.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

x+6తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

11xని పొందడం కోసం 17x మరియు -6xని జత చేయండి.

$$11x+12-x^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -x^{2}+ax+bx+12 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -12ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

సమ్ 11ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=12 b=-1$$

\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)ని -x^{2}+11x+12 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

మొదటి సమూహంలో -x మరియు రెండవ సమూహంలో -1 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-12ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-12=0 మరియు -x-1=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=12 x=-1$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -6,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా x\left(x+6\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

2తో x+6ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

17xని పొందడం కోసం 2x మరియు x\times 15ని జత చేయండి.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

x+6తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

11xని పొందడం కోసం 17x మరియు -6xని జత చేయండి.

$$11x+12-x^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -1, b స్థానంలో 11 మరియు c స్థానంలో 12 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

11 వర్గము.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

-4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

4 సార్లు 12ని గుణించండి.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

48కు 121ని కూడండి.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

169 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-11±13}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 13కు -11ని కూడండి.

$$x=\frac{2}{-2}$$

-2తో 2ని భాగించండి.

$$x=-1$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-11±13}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 13ని -11 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

-2తో -24ని భాగించండి.

$$x=12$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-1 x=12$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -6,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా x\left(x+6\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

2తో x+6ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

17xని పొందడం కోసం 2x మరియు x\times 15ని జత చేయండి.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

x+6తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

11xని పొందడం కోసం 17x మరియు -6xని జత చేయండి.

$$11x+12-x^{2}=0$$

రెండు భాగాల నుండి 12ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$11x-x^{2}=-12$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-x^{2}+11x=-12$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

-1తో భాగించడం ద్వారా -1 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

-1తో 11ని భాగించండి.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

-1తో -12ని భాగించండి.

$$x^{2}-11x=12$$

x రాశి యొక్క గుణకము -11ని 2తో భాగించి -\frac{11}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{11}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{11}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

\frac{121}{4}కు 12ని కూడండి.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

కారకం x^{2}-11x+\frac{121}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{2}ని కూడండి.

$$x=12 x=-1$$