2/x^2-1-4/x^2-3x+2=1/3x^2+6x+3 పరిష్కరించండి

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 1 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } = \frac { 1 } { 3 x ^ { 2 } + 6 x + 3 }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{13}{7} = -1\frac{6}{7} \approx -1.857142857$$

$$x=-2$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -1,1,2 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3.

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

x-2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

3x-6ని x+1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

2తో 3x^{2}-3x-6ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

\left(x+1\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

12ని పొందడం కోసం 3 మరియు 4ని గుణించండి.

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

x^{2}+2x+1తో 12ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

12x^{2}+24x+12 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-6x^{2}ని పొందడం కోసం 6x^{2} మరియు -12x^{2}ని జత చేయండి.

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-30xని పొందడం కోసం -6x మరియు -24xని జత చేయండి.

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-24ని పొందడం కోసం 12ని -12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

x-2ని x-1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

-7x^{2}ని పొందడం కోసం -6x^{2} మరియు -x^{2}ని జత చేయండి.

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

రెండు వైపులా 3xని జోడించండి.

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

-27xని పొందడం కోసం -30x మరియు 3xని జత చేయండి.

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7x^{2}-27x-24-2=0$$

-26ని పొందడం కోసం 2ని -24 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7x^{2}-27x-26=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -7x^{2}+ax+bx-26 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-27 ab=-7\left(-26\right)=182$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ నెగిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 182ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,-182 -2,-91 -7,-26 -13,-14$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1-182=-183 -2-91=-93 -7-26=-33 -13-14=-27$$

సమ్ -27ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-13 b=-14$$

\left(-7x^{2}-13x\right)+\left(-14x-26\right)ని -7x^{2}-27x-26 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-7x^{2}-13x\right)+\left(-14x-26\right)$$

మొదటి సమూహంలో -x మరియు రెండవ సమూహంలో -2 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-x\left(7x+13\right)-2\left(7x+13\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 7x+13ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(7x+13\right)\left(-x-2\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 7x+13=0 మరియు -x-2=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=-\frac{13}{7} x=-2$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -1,1,2 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3.

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

x-2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

3x-6ని x+1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

2తో 3x^{2}-3x-6ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

\left(x+1\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

12ని పొందడం కోసం 3 మరియు 4ని గుణించండి.

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

x^{2}+2x+1తో 12ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

12x^{2}+24x+12 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-6x^{2}ని పొందడం కోసం 6x^{2} మరియు -12x^{2}ని జత చేయండి.

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-30xని పొందడం కోసం -6x మరియు -24xని జత చేయండి.

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-24ని పొందడం కోసం 12ని -12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

x-2ని x-1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

-7x^{2}ని పొందడం కోసం -6x^{2} మరియు -x^{2}ని జత చేయండి.

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

రెండు వైపులా 3xని జోడించండి.

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

-27xని పొందడం కోసం -30x మరియు 3xని జత చేయండి.

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7x^{2}-27x-24-2=0$$

-26ని పొందడం కోసం 2ని -24 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7x^{2}-27x-26=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -7, b స్థానంలో -27 మరియు c స్థానంలో -26 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\left(-7\right)\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

-27 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\left(-7\right)\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

-4 సార్లు -7ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+28\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

28 సార్లు -26ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-728}}{2\left(-7\right)}$$

-728కు 729ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{1}}{2\left(-7\right)}$$

1 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±1}{2\left(-7\right)}$$

-27 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 27.

$$x=\frac{27±1}{2\left(-7\right)}$$

2 సార్లు -7ని గుణించండి.

$$x=\frac{27±1}{-14}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{27±1}{-14} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 1కు 27ని కూడండి.

$$x=\frac{28}{-14}$$

-14తో 28ని భాగించండి.

$$x=-2$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{27±1}{-14} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 1ని 27 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{26}{-14}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{26}{-14} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{13}{7}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-2 x=-\frac{13}{7}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -1,1,2 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3.

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

x-2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

3x-6ని x+1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

2తో 3x^{2}-3x-6ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

\left(x+1\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

12ని పొందడం కోసం 3 మరియు 4ని గుణించండి.

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

x^{2}+2x+1తో 12ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

12x^{2}+24x+12 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-6x^{2}ని పొందడం కోసం 6x^{2} మరియు -12x^{2}ని జత చేయండి.

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-30xని పొందడం కోసం -6x మరియు -24xని జత చేయండి.

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-24ని పొందడం కోసం 12ని -12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

x-2ని x-1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

-7x^{2}ని పొందడం కోసం -6x^{2} మరియు -x^{2}ని జత చేయండి.

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

రెండు వైపులా 3xని జోడించండి.

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

-27xని పొందడం కోసం -30x మరియు 3xని జత చేయండి.

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

రెండు వైపులా 24ని జోడించండి.

$$-7x^{2}-27x=2+24$$

26ని పొందడం కోసం 2 మరియు 24ని కూడండి.

$$-7x^{2}-27x=26$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$\frac{-7x^{2}-27x}{-7}=\frac{26}{-7}$$

-7తో భాగించడం ద్వారా -7 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{-7}\right)x=\frac{26}{-7}$$

-7తో -27ని భాగించండి.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x=\frac{26}{-7}$$

-7తో 26ని భాగించండి.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x=-\frac{26}{7}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{27}{7}ని 2తో భాగించి \frac{27}{14}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{27}{14} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\left(\frac{27}{14}\right)^{2}=-\frac{26}{7}+\left(\frac{27}{14}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{27}{14}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}=-\frac{26}{7}+\frac{729}{196}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{729}{196}కు -\frac{26}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}=\frac{1}{196}$$

కారకం x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{27}{14}\right)^{2}=\frac{1}{196}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{27}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{196}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{27}{14}=\frac{1}{14} x+\frac{27}{14}=-\frac{1}{14}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{27}{14}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{13}{7} x=-2$$