1/x+1/x+18-1/12=0 పరిష్కరించండి

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { x + 18 } - \frac { 1 } { 12 } = 0$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-12$$

$$x=18$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -18,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 12x\left(x+18\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

24xని పొందడం కోసం 12x మరియు 12xని జత చేయండి.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

-1ని పొందడం కోసం 12 మరియు -\frac{1}{12}ని గుణించండి.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

x+18తో -xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

6xని పొందడం కోసం 24x మరియు -18xని జత చేయండి.

$$6x+216-x^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$-x^{2}+6x+216=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -x^{2}+ax+bx+216 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=6 ab=-216=-216$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -216ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,216 -2,108 -3,72 -4,54 -6,36 -8,27 -9,24 -12,18$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+216=215 -2+108=106 -3+72=69 -4+54=50 -6+36=30 -8+27=19 -9+24=15 -12+18=6$$

సమ్ 6ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=18 b=-12$$

\left(-x^{2}+18x\right)+\left(-12x+216\right)ని -x^{2}+6x+216 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-x^{2}+18x\right)+\left(-12x+216\right)$$

మొదటి సమూహంలో -x మరియు రెండవ సమూహంలో -12 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-x\left(x-18\right)-12\left(x-18\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-18ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-18\right)\left(-x-12\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-18=0 మరియు -x-12=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=18 x=-12$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -18,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 12x\left(x+18\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

24xని పొందడం కోసం 12x మరియు 12xని జత చేయండి.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

-1ని పొందడం కోసం 12 మరియు -\frac{1}{12}ని గుణించండి.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

x+18తో -xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

6xని పొందడం కోసం 24x మరియు -18xని జత చేయండి.

$$6x+216-x^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-x^{2}+6x+216=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -1, b స్థానంలో 6 మరియు c స్థానంలో 216 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

6 వర్గము.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

-4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

4 సార్లు 216ని గుణించండి.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+864}}{2\left(-1\right)}$$

864కు 36ని కూడండి.

$$x=\frac{-6±\sqrt{900}}{2\left(-1\right)}$$

900 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-6±30}{2\left(-1\right)}$$

2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-6±30}{-2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-6±30}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 30కు -6ని కూడండి.

$$x=\frac{24}{-2}$$

-2తో 24ని భాగించండి.

$$x=-12$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-6±30}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 30ని -6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{36}{-2}$$

-2తో -36ని భాగించండి.

$$x=18$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-12 x=18$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -18,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 12x\left(x+18\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

24xని పొందడం కోసం 12x మరియు 12xని జత చేయండి.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

-1ని పొందడం కోసం 12 మరియు -\frac{1}{12}ని గుణించండి.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

x+18తో -xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

6xని పొందడం కోసం 24x మరియు -18xని జత చేయండి.

$$6x+216-x^{2}=0$$

రెండు భాగాల నుండి 216ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$6x-x^{2}=-216$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-x^{2}+6x=-216$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$\frac{-x^{2}+6x}{-1}=-\frac{216}{-1}$$

-1తో భాగించడం ద్వారా -1 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{6}{-1}x=-\frac{216}{-1}$$

-1తో 6ని భాగించండి.

$$x^{2}-6x=-\frac{216}{-1}$$

-1తో -216ని భాగించండి.

$$x^{2}-6x=216$$

x రాశి యొక్క గుణకము -6ని 2తో భాగించి -3ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -3 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=216+\left(-3\right)^{2}$$

-3 వర్గము.

$$x^{2}-6x+9=216+9$$

9కు 216ని కూడండి.

$$x^{2}-6x+9=225$$

కారకం x^{2}-6x+9. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-3\right)^{2}=225$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-3=15 x-3=-15$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$x=18 x=-12$$