1/x+40+1/x=1/48 పరిష్కరించండి

$$\frac { 1 } { x + 40 } + \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 48 }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-24$$

$$x=80$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -40,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 48x\left(x+40\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

96xని పొందడం కోసం 48x మరియు 48xని జత చేయండి.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

x+40తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

రెండు భాగాల నుండి 40xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

56xని పొందడం కోసం 96x మరియు -40xని జత చేయండి.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -x^{2}+ax+bx+1920 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=56 ab=-1920=-1920$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -1920ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,1920 -2,960 -3,640 -4,480 -5,384 -6,320 -8,240 -10,192 -12,160 -15,128 -16,120 -20,96 -24,80 -30,64 -32,60 -40,48$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+1920=1919 -2+960=958 -3+640=637 -4+480=476 -5+384=379 -6+320=314 -8+240=232 -10+192=182 -12+160=148 -15+128=113 -16+120=104 -20+96=76 -24+80=56 -30+64=34 -32+60=28 -40+48=8$$

సమ్ 56ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=80 b=-24$$

\left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right)ని -x^{2}+56x+1920 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right)$$

మొదటి సమూహంలో -x మరియు రెండవ సమూహంలో -24 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-x\left(x-80\right)-24\left(x-80\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-80ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-80\right)\left(-x-24\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-80=0 మరియు -x-24=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=80 x=-24$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -40,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 48x\left(x+40\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

96xని పొందడం కోసం 48x మరియు 48xని జత చేయండి.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

x+40తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

రెండు భాగాల నుండి 40xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

56xని పొందడం కోసం 96x మరియు -40xని జత చేయండి.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -1, b స్థానంలో 56 మరియు c స్థానంలో 1920 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

56 వర్గము.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

-4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+4\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

4 సార్లు 1920ని గుణించండి.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+7680}}{2\left(-1\right)}$$

7680కు 3136ని కూడండి.

$$x=\frac{-56±\sqrt{10816}}{2\left(-1\right)}$$

10816 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-56±104}{2\left(-1\right)}$$

2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-56±104}{-2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-56±104}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 104కు -56ని కూడండి.

$$x=\frac{48}{-2}$$

-2తో 48ని భాగించండి.

$$x=-24$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-56±104}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 104ని -56 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{160}{-2}$$

-2తో -160ని భాగించండి.

$$x=80$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-24 x=80$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -40,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 48x\left(x+40\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

96xని పొందడం కోసం 48x మరియు 48xని జత చేయండి.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

x+40తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

రెండు భాగాల నుండి 40xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

56xని పొందడం కోసం 96x మరియు -40xని జత చేయండి.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

రెండు భాగాల నుండి 1920ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$56x-x^{2}=-1920$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-x^{2}+56x=-1920$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$\frac{-x^{2}+56x}{-1}=-\frac{1920}{-1}$$

-1తో భాగించడం ద్వారా -1 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{56}{-1}x=-\frac{1920}{-1}$$

-1తో 56ని భాగించండి.

$$x^{2}-56x=-\frac{1920}{-1}$$

-1తో -1920ని భాగించండి.

$$x^{2}-56x=1920$$

x రాశి యొక్క గుణకము -56ని 2తో భాగించి -28ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -28 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-56x+\left(-28\right)^{2}=1920+\left(-28\right)^{2}$$

-28 వర్గము.

$$x^{2}-56x+784=1920+784$$

784కు 1920ని కూడండి.

$$x^{2}-56x+784=2704$$

కారకం x^{2}-56x+784. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-28\right)^{2}=2704$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-28\right)^{2}}=\sqrt{2704}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-28=52 x-28=-52$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 28ని కూడండి.

$$x=80 x=-24$$