1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1 పరిష్కరించండి

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0.133333333$$

$$x=2$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -2,\frac{1}{3} విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

16తో 3x-1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

53xని పొందడం కోసం 5x మరియు 48xని జత చేయండి.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

-6ని పొందడం కోసం 16ని 10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

x+2తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

5x+10ని 3x-1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

రెండు భాగాల నుండి 15x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

రెండు భాగాల నుండి 25xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

28xని పొందడం కోసం 53x మరియు -25xని జత చేయండి.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

రెండు వైపులా 10ని జోడించండి.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

4ని పొందడం కోసం -6 మరియు 10ని కూడండి.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -15x^{2}+ax+bx+4 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -60ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

సమ్ 28ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=30 b=-2$$

\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)ని -15x^{2}+28x+4 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

మొదటి సమూహంలో 15x మరియు రెండవ సమూహంలో 2 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ -x+2ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, -x+2=0 మరియు 15x+2=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -2,\frac{1}{3} విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

16తో 3x-1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

53xని పొందడం కోసం 5x మరియు 48xని జత చేయండి.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

-6ని పొందడం కోసం 16ని 10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

x+2తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

5x+10ని 3x-1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

రెండు భాగాల నుండి 15x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

రెండు భాగాల నుండి 25xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

28xని పొందడం కోసం 53x మరియు -25xని జత చేయండి.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

రెండు వైపులా 10ని జోడించండి.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

4ని పొందడం కోసం -6 మరియు 10ని కూడండి.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -15, b స్థానంలో 28 మరియు c స్థానంలో 4 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

28 వర్గము.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

-4 సార్లు -15ని గుణించండి.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

60 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

240కు 784ని కూడండి.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

1024 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

2 సార్లు -15ని గుణించండి.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-28±32}{-30} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 32కు -28ని కూడండి.

$$x=\frac{4}{-30}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{4}{-30} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{2}{15}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-28±32}{-30} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 32ని -28 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

-30తో -60ని భాగించండి.

$$x=2$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -2,\frac{1}{3} విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

16తో 3x-1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

53xని పొందడం కోసం 5x మరియు 48xని జత చేయండి.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

-6ని పొందడం కోసం 16ని 10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

x+2తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

5x+10ని 3x-1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

రెండు భాగాల నుండి 15x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

రెండు భాగాల నుండి 25xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

28xని పొందడం కోసం 53x మరియు -25xని జత చేయండి.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

రెండు వైపులా 6ని జోడించండి.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

-4ని పొందడం కోసం -10 మరియు 6ని కూడండి.

$$28x-15x^{2}=-4$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

రెండు వైపులా -15తో భాగించండి.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

-15తో భాగించడం ద్వారా -15 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

-15తో 28ని భాగించండి.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

-15తో -4ని భాగించండి.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{28}{15}ని 2తో భాగించి -\frac{14}{15}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{14}{15} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{14}{15}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{196}{225}కు \frac{4}{15}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

కారకం x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{14}{15}ని కూడండి.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$