f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,cinR,quadf^prime(x)forallf(x)-ஐ தீர்க்கவும்

$$f ( x ) = ( x - a ) ( x - b ) ( x - c ) , a , b , c \in R , \quad f ^ { \prime } ( x ) \forall f ( x )$$

a-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{x\left(x^{2}-bx-cx+bc-f\right)}{\left(b-x\right)\left(x-c\right)}\text{, }&x\neq c\text{ and }x\neq b\\a\in \mathrm{R}\text{, }&\left(f=0\text{ and }x=c\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }c=0\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }b=0\text{ and }c\neq 0\right)\text{ or }\left(f=0\text{ and }x=b\text{ and }b\neq c\right)\end{matrix}\right.$$

நேர்கோட்டுச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான படிகள்

x-a-ஐ x-b-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$fx=\left(x^{2}-xb-ax+ab\right)\left(x-c\right)$$

x^{2}-xb-ax+ab-ஐ x-c-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$fx=x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc$$

எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x^{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் x^{2}c-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் bx^{2}-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+bx^{2}$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் bxc-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+bx^{2}-bxc$$

உறுப்புகளை மீண்டும் வரிசைப்படுத்தவும்.

$$-ax^{2}+abx+acx-abc=-x^{3}+bx^{2}+cx^{2}-bcx+fx$$

a உள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் இணைக்கவும்.

$$\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a=-x^{3}+bx^{2}+cx^{2}-bcx+fx$$

சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது.

$$\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a=fx-bcx+cx^{2}+bx^{2}-x^{3}$$

இரு பக்கங்களையும் bx-bc-x^{2}+xc-ஆல் வகுக்கவும்.

$$\frac{\left(-x^{2}+bx+cx-bc\right)a}{-x^{2}+bx+cx-bc}=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{-x^{2}+bx+cx-bc}$$

bx-bc-x^{2}+xc-ஆல் வகுத்தல் bx-bc-x^{2}+xc-ஆல் பெருக்குவதைச் செயல்நீக்கும்.

$$a=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{-x^{2}+bx+cx-bc}$$

x\left(-x^{2}+bx+cx-bc+f\right)-ஐ bx-bc-x^{2}+xc-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=\frac{x\left(f-bc+cx+bx-x^{2}\right)}{\left(b-x\right)\left(x-c\right)}$$

b-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$\left\{\begin{matrix}b=-\frac{x\left(x^{2}-ax-cx+ac-f\right)}{\left(a-x\right)\left(x-c\right)}\text{, }&x\neq c\text{ and }x\neq a\\b\in \mathrm{R}\text{, }&\left(f=0\text{ and }x=c\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }c=0\right)\text{ or }\left(x=0\text{ and }a=0\text{ and }c\neq 0\right)\text{ or }\left(f=0\text{ and }x=a\text{ and }a\neq c\right)\end{matrix}\right.$$

நேர்கோட்டுச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான படிகள்

x-a-ஐ x-b-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$fx=\left(x^{2}-xb-ax+ab\right)\left(x-c\right)$$

x^{2}-xb-ax+ab-ஐ x-c-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$fx=x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc$$

எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$x^{3}-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x^{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-x^{2}c-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் x^{2}c-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-bx^{2}+bxc-ax^{2}+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் ax^{2}-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-bx^{2}+bxc+axc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+ax^{2}$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் axc-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-bx^{2}+bxc+abx-abc=fx-x^{3}+x^{2}c+ax^{2}-axc$$

உறுப்புகளை மீண்டும் வரிசைப்படுத்தவும்.

$$-bx^{2}+abx+bcx-abc=-x^{3}+ax^{2}+cx^{2}-acx+fx$$

b உள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் இணைக்கவும்.

$$\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b=-x^{3}+ax^{2}+cx^{2}-acx+fx$$

சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது.

$$\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b=fx-acx+cx^{2}+ax^{2}-x^{3}$$

இரு பக்கங்களையும் ax-ac-x^{2}+xc-ஆல் வகுக்கவும்.

$$\frac{\left(-x^{2}+ax+cx-ac\right)b}{-x^{2}+ax+cx-ac}=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{-x^{2}+ax+cx-ac}$$

ax-ac-x^{2}+xc-ஆல் வகுத்தல் ax-ac-x^{2}+xc-ஆல் பெருக்குவதைச் செயல்நீக்கும்.

$$b=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{-x^{2}+ax+cx-ac}$$

x\left(-x^{2}+ax+cx-ac+f\right)-ஐ ax-ac-x^{2}+xc-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=\frac{x\left(f-ac+cx+ax-x^{2}\right)}{\left(a-x\right)\left(x-c\right)}$$