3x^2-2x-1=0-ஐ தீர்க்கவும்

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=1$$

குழுவாக்குதலின்படி காரணிப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி படிகள்

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, குழுவாக்கல் மூலம் இடது கை பக்கத்தைக் காரணிப்படுத்தவும். முதலில், இடது கை பக்கத்தை 3x^{2}+ax+bx-1-ஆக மீண்டும் எழுதவும். a மற்றும் b-ஐக் கண்டறிய, தீர்ப்பதற்கான அமைப்பை அமைக்கவும்.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

ab எதிர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b எதிரெதிர் குறிகளைக் கொண்டிருக்கும். a+b எதிர்மறையாக இருப்பதால், நேர்மறை எண்ணை விட எதிர்மறை எண் பெரிய தனிமதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். அத்தகைய ஜோடியானது அமைப்புத் தீர்வு மட்டுமே.

$$a=-3 b=1$$

3x^{2}-2x-1 என்பதை \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right) என மீண்டும் எழுதவும்.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

3x^{2}-3x-இல் 3x ஐக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

பரவல் பண்பைப் பயன்படுத்தி x-1 என்ற பொதுவான சொல்லைக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளைக் கண்டறிய, x-1=0 மற்றும் 3x+1=0-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

ax^{2}+bx+c=0 என்ற வடிவத்தின் எல்லா சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரம் இரண்டு தீர்வுகளை வழங்குகிறது, ± ஆனது கூட்டலாக இருக்கும் போது ஒன்று, அது கழித்தலாக இருக்கும் போது ஒன்று.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

இந்தச் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது: குவாட்ரேட்டிக் சூத்திரம் \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-இல் ax^{2}+bx+c=0. a-க்குப் பதிலாக 3, b-க்குப் பதிலாக -2 மற்றும் c-க்குப் பதிலாக -1-ஐப் பதிலீடு செய்து, தீர்க்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-2-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

3-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

-1-ஐ -12 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

12-க்கு 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

16-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

-2-க்கு எதிரில் இருப்பது 2.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

3-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

இப்போது ± கூட்டலாக இருக்கும்போது .சமன்பாடு x=\frac{2±4}{6}-ஐத் தீர்க்கவும். 4-க்கு 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{6}{6}$$

6-ஐ 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

± எதிர்மறை எணணாக இருக்கும்போது இப்போது சமன்பாடு x=\frac{2±4}{6}-ஐத் தீர்க்கவும். 2–இலிருந்து 4–ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-\frac{2}{6}$$

2-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{-2}{6}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{3}$$

இப்போது சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

வர்க்கத்தை நிறைவு செய்வதற்கான படிகள்

இதைப் போன்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதற்கு, சமன்பாடு முதலில் x^{2}+bx=c என்ற வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-ஐ அதிலிருந்தே கழித்தல் 0-ஐ தரும்.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

0–இலிருந்து -1–ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x^{2}-2x=1$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

3-ஆல் வகுத்தல் 3-ஆல் பெருக்குவதைச் செயல்நீக்கும்.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

-\frac{1}{3}-ஐப் பெற, x உறுப்பின் ஈவான -\frac{2}{3}-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும். பிறகு -\frac{1}{3}-இன் வர்க்கத்தைச் சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் சேர்க்கவும். இந்தப் படி சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தைச் சரியான வர்க்கமாக்குகிறது.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகிய இரண்டையும் வர்க்கமாக்குவதன் மூலம், -\frac{1}{3}-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{1}{9} உடன் \frac{1}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

காரணி x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. பொதுவாக, x^{2}+bx+c ஒரு சரியான வர்க்கமாக இருக்கும்போது, அது எப்போதும் \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} என காரணியாக இருக்கலாம்.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{1}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$