24x^2-65x+21=0-ஐ தீர்க்கவும்

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

குழுவாக்குதலின்படி காரணிப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி படிகள்

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, குழுவாக்கல் மூலம் இடது கை பக்கத்தைக் காரணிப்படுத்தவும். முதலில், இடது கை பக்கத்தை 24x^{2}+ax+bx+21-ஆக மீண்டும் எழுதவும். a மற்றும் b-ஐக் கண்டறிய, தீர்ப்பதற்கான அமைப்பை அமைக்கவும்.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

ab நேர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b ஒரே குறியைக் கொண்டிருக்கும். a+b எதிர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b என இரண்டும் எதிர்மறையாக இருக்கும். 504 மதிப்பைத் தரும் எல்லா முழு எண் ஜோடிகளையும் பட்டியலிடவும்.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

ஒவ்வொரு ஜோடிக்குமான கூட்டலைக் கணக்கிடவும்.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

-65 என்ற கூட்டல் மதிப்பைத் தரும் ஜோடிதான் தீர்வு.

$$a=-56 b=-9$$

24x^{2}-65x+21 என்பதை \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right) என மீண்டும் எழுதவும்.

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

முதல் குழுவில் 8x மற்றும் இரண்டாவது குழுவில் -3-ஐக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

பரவல் பண்பைப் பயன்படுத்தி 3x-7 என்ற பொதுவான சொல்லைக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளைக் கண்டறிய, 3x-7=0 மற்றும் 8x-3=0-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

ax^{2}+bx+c=0 என்ற வடிவத்தின் எல்லா சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரம் இரண்டு தீர்வுகளை வழங்குகிறது, ± ஆனது கூட்டலாக இருக்கும் போது ஒன்று, அது கழித்தலாக இருக்கும் போது ஒன்று.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

இந்தச் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது: குவாட்ரேட்டிக் சூத்திரம் \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-இல் ax^{2}+bx+c=0. a-க்குப் பதிலாக 24, b-க்குப் பதிலாக -65 மற்றும் c-க்குப் பதிலாக 21-ஐப் பதிலீடு செய்து, தீர்க்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

-65-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

24-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

21-ஐ -96 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

-2016-க்கு 4225-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

2209-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

-65-க்கு எதிரில் இருப்பது 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

24-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

இப்போது ± கூட்டலாக இருக்கும்போது .சமன்பாடு x=\frac{65±47}{48}-ஐத் தீர்க்கவும். 47-க்கு 65-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{112}{48}$$

16-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{112}{48}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$x=\frac{7}{3}$$

± எதிர்மறை எணணாக இருக்கும்போது இப்போது சமன்பாடு x=\frac{65±47}{48}-ஐத் தீர்க்கவும். 65–இலிருந்து 47–ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=\frac{18}{48}$$

6-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{18}{48}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$x=\frac{3}{8}$$

இப்போது சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

வர்க்கத்தை நிறைவு செய்வதற்கான படிகள்

இதைப் போன்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதற்கு, சமன்பாடு முதலில் x^{2}+bx=c என்ற வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 21-ஐக் கழிக்கவும்.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

21-ஐ அதிலிருந்தே கழித்தல் 0-ஐ தரும்.

$$24x^{2}-65x=-21$$

இரு பக்கங்களையும் 24-ஆல் வகுக்கவும்.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

24-ஆல் வகுத்தல் 24-ஆல் பெருக்குவதைச் செயல்நீக்கும்.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

3-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{-21}{24}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

-\frac{65}{48}-ஐப் பெற, x உறுப்பின் ஈவான -\frac{65}{24}-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும். பிறகு -\frac{65}{48}-இன் வர்க்கத்தைச் சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் சேர்க்கவும். இந்தப் படி சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தைச் சரியான வர்க்கமாக்குகிறது.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகிய இரண்டையும் வர்க்கமாக்குவதன் மூலம், -\frac{65}{48}-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{4225}{2304} உடன் -\frac{7}{8}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

காரணி x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. பொதுவாக, x^{2}+bx+c ஒரு சரியான வர்க்கமாக இருக்கும்போது, அது எப்போதும் \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} என காரணியாக இருக்கலாம்.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{65}{48}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$