2x+y=21;text{II}5x+2y=48-ஐ தீர்க்கவும்

$$2 x + y = 21 ; \text { II } 5 x + 2 y = 48$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=6$$

$$y=9$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+y=21,5x+2y=48$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+y=21$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-y+21$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+21\right)$$

-y+21-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{21}{2}$$

பிற சமன்பாடு 5x+2y=48-இல் x-க்கு \frac{-y+21}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{21}{2}\right)+2y=48$$

\frac{-y+21}{2}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{105}{2}+2y=48$$

2y-க்கு -\frac{5y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{105}{2}=48$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{105}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{9}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=9$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{21}{2}-இல் y-க்கு 9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{2}\times 9+\frac{21}{2}$$

9-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{9}{2} உடன் \frac{21}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=6$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=6,y=9$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+y=21,5x+2y=48$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\48\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\48\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\48\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\48\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5}&-\frac{1}{2\times 2-5}\\-\frac{5}{2\times 2-5}&\frac{2}{2\times 2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\48\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\48\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 21+48\\5\times 21-2\times 48\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=6,y=9$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+y=21,5x+2y=48$$

2x மற்றும் 5x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$5\times 2x+5y=5\times 21,2\times 5x+2\times 2y=2\times 48$$

எளிமையாக்கவும்.

$$10x+5y=105,10x+4y=96$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 10x+5y=105-இலிருந்து 10x+4y=96-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10x-10x+5y-4y=105-96$$

-10x-க்கு 10x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 10x மற்றும் -10x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$5y-4y=105-96$$

-4y-க்கு 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=105-96$$

-96-க்கு 105-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=9$$

5x+2y=48-இல் y-க்கு 9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$5x+2\times 9=48$$

9-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$5x+18=48$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 18-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x=30$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=6$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=6,y=9$$