{l}{2x+5y=11}{x=2y+1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x + 5 y = 11 }\\{ x = 2 y + 1 }\end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-2y=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+5y=11,x-2y=1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+5y=11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-5y+11$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+11\right)$$

-5y+11-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{11}{2}$$

பிற சமன்பாடு x-2y=1-இல் x-க்கு \frac{-5y+11}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{11}{2}-2y=1$$

-2y-க்கு -\frac{5y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{11}{2}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{11}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{9}{2}y=-\frac{9}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{9}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=1$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{11}{2}-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{-5+11}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{5}{2} உடன் \frac{11}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-2y=1$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+5y=11,x-2y=1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\1&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-5}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{5}{9}\\\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 11+\frac{5}{9}\\\frac{1}{9}\times 11-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=3,y=1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-2y=1$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+5y=11,x-2y=1$$

2x மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2x+5y=11,2x+2\left(-2\right)y=2$$

எளிமையாக்கவும்.

$$2x+5y=11,2x-4y=2$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2x+5y=11-இலிருந்து 2x-4y=2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-2x+5y+4y=11-2$$

-2x-க்கு 2x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 2x மற்றும் -2x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$5y+4y=11-2$$

4y-க்கு 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$9y=11-2$$

-2-க்கு 11-ஐக் கூட்டவும்.

$$9y=9$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=1$$

x-2y=1-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x-2=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=1$$