{r}{32x+3y=5}{3x+2y=70}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$32x+3y=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$32x=-3y+5$$

இரு பக்கங்களையும் 32-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

-3y+5-ஐ \frac{1}{32} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

பிற சமன்பாடு 3x+2y=70-இல் x-க்கு \frac{-3y+5}{32}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

\frac{-3y+5}{32}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

2y-க்கு -\frac{9y}{32}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{15}{32}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{55}{32}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{445}{11}$$

x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}-இல் y-க்கு \frac{445}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{445}{11}-ஐ -\frac{3}{32} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{1335}{352} உடன் \frac{5}{32}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{40}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

32x மற்றும் 3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 32-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

எளிமையாக்கவும்.

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 96x+9y=15-இலிருந்து 96x+64y=2240-ஐக் கழிக்கவும்.

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

-96x-க்கு 96x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 96x மற்றும் -96x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$9y-64y=15-2240$$

-64y-க்கு 9y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-55y=15-2240$$

-2240-க்கு 15-ஐக் கூட்டவும்.

$$-55y=-2225$$

இரு பக்கங்களையும் -55-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{445}{11}$$

3x+2y=70-இல் y-க்கு \frac{445}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

\frac{445}{11}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{890}{11}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-\frac{120}{11}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{40}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$