{l}{y=6x}{x+y+y=315.9}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-6x=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். y மற்றும் y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2y.

$$x+2y=315.9$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$y-6x=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 6x-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=6x$$

பிற சமன்பாடு 2y+x=315.9-இல் y-க்கு 6x-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\times 6x+x=315.9$$

6x-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$12x+x=315.9$$

x-க்கு 12x-ஐக் கூட்டவும்.

$$13x=315.9$$

இரு பக்கங்களையும் 13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=24.3$$

y=6x-இல் x-க்கு 24.3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=6\times 24.3$$

24.3-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$y=145.8$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=145.8,x=24.3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-6x=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். y மற்றும் y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2y.

$$x+2y=315.9$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-6x=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். y மற்றும் y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2y.

$$x+2y=315.9$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

y மற்றும் 2y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

எளிமையாக்கவும்.

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2y-12x=0-இலிருந்து 2y+x=315.9-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

-2y-க்கு 2y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 2y மற்றும் -2y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-12x-x=-315.9$$

-x-க்கு -12x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-13x=-315.9$$

இரு பக்கங்களையும் -13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{243}{10}$$

2y+x=315.9-இல் x-க்கு \frac{243}{10}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{243}{10}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y=\frac{1458}{5}$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{729}{5}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$