{l}{y=1/2x+4}{x-y=8}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 4 } \\ { x - y = 8 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=24$$

$$y=16$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{2}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=4,-y+x=8$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{x}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=\frac{1}{2}x+4$$

பிற சமன்பாடு -y+x=8-இல் y-க்கு \frac{x}{2}+4-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\left(\frac{1}{2}x+4\right)+x=8$$

\frac{x}{2}+4-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{1}{2}x-4+x=8$$

x-க்கு -\frac{x}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{2}x-4=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{2}x=12$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=24$$

y=\frac{1}{2}x+4-இல் x-க்கு 24-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=\frac{1}{2}\times 24+4$$

24-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$y=12+4$$

12-க்கு 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=16$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=16,x=24$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{2}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=4,-y+x=8$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 4+8\\2\times 4+2\times 8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\24\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=16,x=24$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{2}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=4$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=4,-y+x=8$$

y மற்றும் -y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-y-\left(-\frac{1}{2}x\right)=-4,-y+x=8$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-y+\frac{1}{2}x=-4,-y+x=8$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -y+\frac{1}{2}x=-4-இலிருந்து -y+x=8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-y+y+\frac{1}{2}x-x=-4-8$$

y-க்கு -y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -y மற்றும் y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\frac{1}{2}x-x=-4-8$$

-x-க்கு \frac{x}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{2}x=-4-8$$

-8-க்கு -4-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{2}x=-12$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=24$$

-y+x=8-இல் x-க்கு 24-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-y+24=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 24-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-y=-16$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=16$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=16,x=24$$