{l}{x_{6}=3x+y}{x_{3}=3y+x}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { x _ { 6 } = 3 x + y } \\ { x _ { 3 } = 3 y + x } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$3x+y=x_{6}$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$3y+x=x_{3}$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+y=x_{6}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-y+x_{6}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+x_{6}\right)$$

-y+x_{6}-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}$$

பிற சமன்பாடு x+3y=x_{3}-இல் x-க்கு \frac{-y+x_{6}}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}+3y=x_{3}$$

3y-க்கு -\frac{y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{8}{3}y+\frac{x_{6}}{3}=x_{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{x_{6}}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{8}{3}y=-\frac{x_{6}}{3}+x_{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{8}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{x_{6}}{3}-இல் y-க்கு \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}+\frac{x_{6}}{3}$$

\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}-ஐ -\frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{x_{6}}{24}-\frac{x_{3}}{8}+\frac{x_{6}}{3}$$

-\frac{x_{3}}{8}+\frac{x_{6}}{24}-க்கு \frac{x_{6}}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$3x+y=x_{6}$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$3y+x=x_{3}$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-1}&-\frac{1}{3\times 3-1}\\-\frac{1}{3\times 3-1}&\frac{3}{3\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{6}\\x_{3}\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}x_{6}-\frac{1}{8}x_{3}\\-\frac{1}{8}x_{6}+\frac{3}{8}x_{3}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}\\\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$3x+y=x_{6}$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$3y+x=x_{3}$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+y=x_{6},x+3y=x_{3}$$

3x மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3x+y=x_{6},3x+3\times 3y=3x_{3}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$3x+y=x_{6},3x+9y=3x_{3}$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3x+y=x_{6}-இலிருந்து 3x+9y=3x_{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-3x+y-9y=x_{6}-3x_{3}$$

-3x-க்கு 3x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3x மற்றும் -3x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$y-9y=x_{6}-3x_{3}$$

-9y-க்கு y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-8y=x_{6}-3x_{3}$$

இரு பக்கங்களையும் -8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$

x+3y=x_{3}-இல் y-க்கு \frac{-x_{6}+3x_{3}}{8}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x+3\times \frac{3x_{3}-x_{6}}{8}=x_{3}$$

\frac{-x_{6}+3x_{3}}{8}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$x+\frac{9x_{3}-3x_{6}}{8}=x_{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{-3x_{6}+9x_{3}}{8}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{3x_{6}-x_{3}}{8},y=\frac{3x_{3}-x_{6}}{8}$$