{l}{x-2y=17}{3x-2y=-3}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { x - 2 y = 17 } \\ { 3 x - 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-10$$

$$y = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13.5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-2y=17,3x-2y=-3$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-2y=17$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=2y+17$$

பிற சமன்பாடு 3x-2y=-3-இல் x-க்கு 2y+17-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(2y+17\right)-2y=-3$$

2y+17-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$6y+51-2y=-3$$

-2y-க்கு 6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4y+51=-3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 51-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y=-54$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{27}{2}$$

x=2y+17-இல் y-க்கு -\frac{27}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=2\left(-\frac{27}{2}\right)+17$$

-\frac{27}{2}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-27+17$$

-27-க்கு 17-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-10$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-10,y=-\frac{27}{2}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-2y=17,3x-2y=-3$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-3\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\-\frac{3}{4}\times 17+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-\frac{27}{2}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-10,y=-\frac{27}{2}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-2y=17,3x-2y=-3$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் x-2y=17-இலிருந்து 3x-2y=-3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-3x-2y+2y=17+3$$

2y-க்கு -2y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -2y மற்றும் 2y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$x-3x=17+3$$

-3x-க்கு x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=17+3$$

3-க்கு 17-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=20$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-10$$

3x-2y=-3-இல் x-க்கு -10-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3\left(-10\right)-2y=-3$$

-10-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-30-2y=-3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 30-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2y=27$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{27}{2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-10,y=-\frac{27}{2}$$