{l}{x+y=38000}{0.06x+0.15y=4170}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 38000 } \\ { 0.06 x + 0.15 y = 4170 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=17000$$

$$y=21000$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+y=38000,0.06x+0.15y=4170$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+y=38000$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-y+38000$$

பிற சமன்பாடு 0.06x+0.15y=4170-இல் x-க்கு -y+38000-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$0.06\left(-y+38000\right)+0.15y=4170$$

-y+38000-ஐ 0.06 முறை பெருக்கவும்.

$$-0.06y+2280+0.15y=4170$$

\frac{3y}{20}-க்கு -\frac{3y}{50}-ஐக் கூட்டவும்.

$$0.09y+2280=4170$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2280-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.09y=1890$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 0.09-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=21000$$

x=-y+38000-இல் y-க்கு 21000-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-21000+38000$$

-21000-க்கு 38000-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=17000$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=17000,y=21000$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y=38000,0.06x+0.15y=4170$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.15}{0.15-0.06}&-\frac{1}{0.15-0.06}\\-\frac{0.06}{0.15-0.06}&\frac{1}{0.15-0.06}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&-\frac{100}{9}\\-\frac{2}{3}&\frac{100}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 38000-\frac{100}{9}\times 4170\\-\frac{2}{3}\times 38000+\frac{100}{9}\times 4170\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17000\\21000\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=17000,y=21000$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+y=38000,0.06x+0.15y=4170$$

x மற்றும் \frac{3x}{50}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 0.06-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$0.06x+0.06y=0.06\times 38000,0.06x+0.15y=4170$$

எளிமையாக்கவும்.

$$0.06x+0.06y=2280,0.06x+0.15y=4170$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 0.06x+0.06y=2280-இலிருந்து 0.06x+0.15y=4170-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.06x-0.06x+0.06y-0.15y=2280-4170$$

-\frac{3x}{50}-க்கு \frac{3x}{50}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் \frac{3x}{50} மற்றும் -\frac{3x}{50} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$0.06y-0.15y=2280-4170$$

-\frac{3y}{20}-க்கு \frac{3y}{50}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-0.09y=2280-4170$$

-4170-க்கு 2280-ஐக் கூட்டவும்.

$$-0.09y=-1890$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -0.09-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=21000$$

0.06x+0.15y=4170-இல் y-க்கு 21000-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$0.06x+0.15\times 21000=4170$$

21000-ஐ 0.15 முறை பெருக்கவும்.

$$0.06x+3150=4170$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3150-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.06x=1020$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 0.06-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=17000$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=17000,y=21000$$