{l}{x+y=17}{2.6x+3.5y=55}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 17 } \\ { 2.6 x + 3.5 y = 55 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=5$$

$$y=12$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+y=17$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-y+17$$

பிற சமன்பாடு 2.6x+3.5y=55-இல் x-க்கு -y+17-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2.6\left(-y+17\right)+3.5y=55$$

-y+17-ஐ 2.6 முறை பெருக்கவும்.

$$-2.6y+44.2+3.5y=55$$

\frac{7y}{2}-க்கு -\frac{13y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$0.9y+44.2=55$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 44.2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.9y=10.8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 0.9-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=12$$

x=-y+17-இல் y-க்கு 12-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-12+17$$

-12-க்கு 17-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=5,y=12$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3.5}{3.5-2.6}&-\frac{1}{3.5-2.6}\\-\frac{2.6}{3.5-2.6}&\frac{1}{3.5-2.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}&-\frac{10}{9}\\-\frac{26}{9}&\frac{10}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}\times 17-\frac{10}{9}\times 55\\-\frac{26}{9}\times 17+\frac{10}{9}\times 55\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=5,y=12$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

x மற்றும் \frac{13x}{5}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2.6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2.6x+2.6y=2.6\times 17,2.6x+3.5y=55$$

எளிமையாக்கவும்.

$$2.6x+2.6y=44.2,2.6x+3.5y=55$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2.6x+2.6y=44.2-இலிருந்து 2.6x+3.5y=55-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2.6x-2.6x+2.6y-3.5y=44.2-55$$

-\frac{13x}{5}-க்கு \frac{13x}{5}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் \frac{13x}{5} மற்றும் -\frac{13x}{5} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$2.6y-3.5y=44.2-55$$

-\frac{7y}{2}-க்கு \frac{13y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-0.9y=44.2-55$$

-55-க்கு 44.2-ஐக் கூட்டவும்.

$$-0.9y=-10.8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -0.9-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=12$$

2.6x+3.5y=55-இல் y-க்கு 12-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2.6x+3.5\times 12=55$$

12-ஐ 3.5 முறை பெருக்கவும்.

$$2.6x+42=55$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 42-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2.6x=13$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2.6-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=5,y=12$$