{l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

a, b-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2b-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$a+2b=15$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2a-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2a-5b+2a=15$$

2a மற்றும் 2a-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 4a.

$$4a-5b=15$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் a-ஐத் தனிப்படுத்தி a-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$a+2b=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$a=-2b+15$$

பிற சமன்பாடு 4a-5b=15-இல் a-க்கு -2b+15-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

-2b+15-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-8b+60-5b=15$$

-5b-க்கு -8b-ஐக் கூட்டவும்.

$$-13b+60=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 60-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-13b=-45$$

இரு பக்கங்களையும் -13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=\frac{45}{13}$$

a=-2b+15-இல் b-க்கு \frac{45}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

\frac{45}{13}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

-\frac{90}{13}-க்கு 15-ஐக் கூட்டவும்.

$$a=\frac{105}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2b-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$a+2b=15$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2a-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2a-5b+2a=15$$

2a மற்றும் 2a-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 4a.

$$4a-5b=15$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் a மற்றும் b-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2b-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$a+2b=15$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2a-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2a-5b+2a=15$$

2a மற்றும் 2a-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 4a.

$$4a-5b=15$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

a மற்றும் 4a-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

எளிமையாக்கவும்.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 4a+8b=60-இலிருந்து 4a-5b=15-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

-4a-க்கு 4a-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 4a மற்றும் -4a ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$8b+5b=60-15$$

5b-க்கு 8b-ஐக் கூட்டவும்.

$$13b=60-15$$

-15-க்கு 60-ஐக் கூட்டவும்.

$$13b=45$$

இரு பக்கங்களையும் 13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=\frac{45}{13}$$

4a-5b=15-இல் b-க்கு \frac{45}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

\frac{45}{13}-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{225}{13}-ஐக் கூட்டவும்.

$$4a=\frac{420}{13}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=\frac{105}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$