{l}{I:2x+5y=14}{pi-2x+3y=4}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { I : 2 x + 5 y = 14 } \\ { \pi - 2 x + 3 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20}$$

$$y=\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}$$

$$I\neq -\frac{20}{3}$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{I}{2}x+5y=14,-2x+3y+\pi =4$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$\frac{I}{2}x+5y=14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{I}{2}x=-5y+14$$

இரு பக்கங்களையும் \frac{I}{2}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{2}{I}\left(-5y+14\right)$$

-5y+14-ஐ \frac{2}{I} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\left(-\frac{10}{I}\right)y+\frac{28}{I}$$

பிற சமன்பாடு -2x+3y+\pi =4-இல் x-க்கு \frac{2\left(14-5y\right)}{I}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-2\left(\left(-\frac{10}{I}\right)y+\frac{28}{I}\right)+3y+\pi =4$$

\frac{2\left(14-5y\right)}{I}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{20}{I}y-\frac{56}{I}+3y+\pi =4$$

3y-க்கு \frac{20y}{I}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(3+\frac{20}{I}\right)y-\frac{56}{I}+\pi =4$$

\pi -க்கு -\frac{56}{I}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(3+\frac{20}{I}\right)y+\pi -\frac{56}{I}=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \pi -\frac{56}{I}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(3+\frac{20}{I}\right)y=4-\pi +\frac{56}{I}$$

இரு பக்கங்களையும் 3+\frac{20}{I}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}$$

x=\left(-\frac{10}{I}\right)y+\frac{28}{I}-இல் y-க்கு \frac{56-I\pi +4I}{20+3I}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\left(-\frac{10}{I}\right)\times \frac{56+4I-\pi I}{3I+20}+\frac{28}{I}$$

\frac{56-I\pi +4I}{20+3I}-ஐ -\frac{10}{I} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{10\left(56+4I-\pi I\right)}{I\left(3I+20\right)}+\frac{28}{I}$$

-\frac{10\left(56-I\pi +4I\right)}{I\left(20+3I\right)}-க்கு \frac{28}{I}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20},y=\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$\frac{I}{2}x+5y=14,-2x+3y+\pi =4$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{I}{2}&5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{I}{2}\times 3-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{\frac{I}{2}\times 3-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{\frac{I}{2}\times 3-5\left(-2\right)}&\frac{I}{2\left(\frac{I}{2}\times 3-5\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3I+20}&-\frac{10}{3I+20}\\\frac{4}{3I+20}&\frac{I}{3I+20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4-\pi \end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3I+20}\times 14+\left(-\frac{10}{3I+20}\right)\left(4-\pi \right)\\\frac{4}{3I+20}\times 14+\frac{I}{3I+20}\left(4-\pi \right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20}\\\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20},y=\frac{56+4I-\pi I}{3I+20}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$\frac{I}{2}x+5y=14,-2x+3y+\pi =4$$

\frac{Ix}{2} மற்றும் -2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் \frac{1}{2}I-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-2\times \frac{I}{2}x-2\times 5y=-2\times 14,\frac{I}{2}\left(-2\right)x+\frac{I}{2}\times 3y+\frac{I}{2}\pi =\frac{I}{2}\times 4$$

எளிமையாக்கவும்.

$$\left(-I\right)x-10y=-28,\left(-I\right)x+\frac{3I}{2}y+\frac{\pi I}{2}=2I$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் \left(-I\right)x-10y=-28-இலிருந்து \left(-I\right)x+\frac{3I}{2}y+\frac{\pi I}{2}=2I-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(-I\right)x+Ix-10y+\left(-\frac{3I}{2}\right)y-\frac{\pi I}{2}=-28-2I$$

Ix-க்கு -Ix-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -Ix மற்றும் Ix ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-10y+\left(-\frac{3I}{2}\right)y-\frac{\pi I}{2}=-28-2I$$

-\frac{3Iy}{2}-க்கு -10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-\frac{3I}{2}-10\right)y-\frac{\pi I}{2}=-28-2I$$

-2I-க்கு -28-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-\frac{3I}{2}-10\right)y-\frac{\pi I}{2}=-2I-28$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{I\pi }{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-\frac{3I}{2}-10\right)y=\frac{\pi I}{2}-2I-28$$

இரு பக்கங்களையும் -10-\frac{3I}{2}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{\pi I-4I-56}{3I+20}$$

-2x+3y+\pi =4-இல் y-க்கு -\frac{-56-4I+I\pi }{20+3I}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-2x+3\left(-\frac{\pi I-4I-56}{3I+20}\right)+\pi =4$$

-\frac{-56-4I+I\pi }{20+3I}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-2x-\frac{3\left(\pi I-4I-56\right)}{3I+20}+\pi =4$$

\pi -க்கு -\frac{3\left(-56-4I+I\pi \right)}{20+3I}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x+\frac{4\left(3I+5\pi +42\right)}{3I+20}=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{4\left(5\pi +3I+42\right)}{20+3I}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2x=-\frac{4\left(5\pi +22\right)}{3I+20}$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{2\left(5\pi +22\right)}{3I+20},y=-\frac{\pi I-4I-56}{3I+20}$$