{l}{9x-7y=-19}{3x+y=7}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 7 y = - 19 } \\ { 3 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$9x-7y=-19$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 7y-ஐக் கூட்டவும்.

$$9x=7y-19$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{9}\left(7y-19\right)$$

7y-19-ஐ \frac{1}{9} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}$$

பிற சமன்பாடு 3x+y=7-இல் x-க்கு \frac{7y-19}{9}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}\right)+y=7$$

\frac{7y-19}{9}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{7}{3}y-\frac{19}{3}+y=7$$

y-க்கு \frac{7y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{10}{3}y-\frac{19}{3}=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{19}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{10}{3}y=\frac{40}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{10}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=4$$

x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{7}{9}\times 4-\frac{19}{9}$$

4-ஐ \frac{7}{9} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{28-19}{9}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{28}{9} உடன் -\frac{19}{9}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=4$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-7\times 3\right)}&-\frac{-7}{9-\left(-7\times 3\right)}\\-\frac{3}{9-\left(-7\times 3\right)}&\frac{9}{9-\left(-7\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&\frac{7}{30}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\left(-19\right)+\frac{7}{30}\times 7\\-\frac{1}{10}\left(-19\right)+\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=1,y=4$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

9x மற்றும் 3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 9-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 9x+3\left(-7\right)y=3\left(-19\right),9\times 3x+9y=9\times 7$$

எளிமையாக்கவும்.

$$27x-21y=-57,27x+9y=63$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 27x-21y=-57-இலிருந்து 27x+9y=63-ஐக் கழிக்கவும்.

$$27x-27x-21y-9y=-57-63$$

-27x-க்கு 27x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 27x மற்றும் -27x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-21y-9y=-57-63$$

-9y-க்கு -21y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-30y=-57-63$$

-63-க்கு -57-ஐக் கூட்டவும்.

$$-30y=-120$$

இரு பக்கங்களையும் -30-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=4$$

3x+y=7-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x+4=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=3$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=4$$