{l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

v, w-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் v-ஐத் தனிப்படுத்தி v-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$9v+2w=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2w-ஐக் கழிக்கவும்.

$$9v=-2w+7$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

-2w+7-ஐ \frac{1}{9} முறை பெருக்கவும்.

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

பிற சமன்பாடு 3v-8w=-2-இல் v-க்கு \frac{-2w+7}{9}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

\frac{-2w+7}{9}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

-8w-க்கு -\frac{2w}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{7}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{26}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$w=\frac{1}{2}$$

v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}-இல் w-க்கு \frac{1}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக v-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{1}{2}-ஐ -\frac{2}{9} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{1}{9} உடன் \frac{7}{9}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$v=\frac{2}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் v மற்றும் w-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

9v மற்றும் 3v-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 9-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 27v+6w=21-இலிருந்து 27v-72w=-18-ஐக் கழிக்கவும்.

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

-27v-க்கு 27v-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 27v மற்றும் -27v ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$6w+72w=21+18$$

72w-க்கு 6w-ஐக் கூட்டவும்.

$$78w=21+18$$

18-க்கு 21-ஐக் கூட்டவும்.

$$78w=39$$

இரு பக்கங்களையும் 78-ஆல் வகுக்கவும்.

$$w=\frac{1}{2}$$

3v-8w=-2-இல் w-க்கு \frac{1}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக v-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

\frac{1}{2}-ஐ -8 முறை பெருக்கவும்.

$$3v-4=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$3v=2$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$v=\frac{2}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$