{l}{6x-5y=-36}{-7x+2y=39}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = - 36 } \\ { - 7 x + 2 y = 39 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{123}{23} = -5\frac{8}{23} \approx -5.347826087$$

$$y=\frac{18}{23}\approx 0.782608696$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$6x-5y=-36$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x=5y-36$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-36\right)$$

5y-36-ஐ \frac{1}{6} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{5}{6}y-6$$

பிற சமன்பாடு -7x+2y=39-இல் x-க்கு \frac{5y}{6}-6-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-7\left(\frac{5}{6}y-6\right)+2y=39$$

\frac{5y}{6}-6-ஐ -7 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{35}{6}y+42+2y=39$$

2y-க்கு -\frac{35y}{6}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{23}{6}y+42=39$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 42-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{23}{6}y=-3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{23}{6}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{18}{23}$$

x=\frac{5}{6}y-6-இல் y-க்கு \frac{18}{23}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{18}{23}-6$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{18}{23}-ஐ \frac{5}{6} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{15}{23}-6$$

\frac{15}{23}-க்கு -6-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{123}{23}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}\left(-36\right)-\frac{5}{23}\times 39\\-\frac{7}{23}\left(-36\right)-\frac{6}{23}\times 39\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{123}{23}\\\frac{18}{23}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

6x மற்றும் -7x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -7-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-7\times 6x-7\left(-5\right)y=-7\left(-36\right),6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\times 39$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-42x+35y=252,-42x+12y=234$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -42x+35y=252-இலிருந்து -42x+12y=234-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-42x+42x+35y-12y=252-234$$

42x-க்கு -42x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -42x மற்றும் 42x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$35y-12y=252-234$$

-12y-க்கு 35y-ஐக் கூட்டவும்.

$$23y=252-234$$

-234-க்கு 252-ஐக் கூட்டவும்.

$$23y=18$$

இரு பக்கங்களையும் 23-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{18}{23}$$

-7x+2y=39-இல் y-க்கு \frac{18}{23}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-7x+2\times \frac{18}{23}=39$$

\frac{18}{23}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-7x+\frac{36}{23}=39$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{36}{23}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-7x=\frac{861}{23}$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{123}{23}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$