{l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 4x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$5y+4x=-13$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5y+4x=-13$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5y=-4x-13$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

-4x-13-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

பிற சமன்பாடு 6y+3x=13-இல் y-க்கு \frac{-4x-13}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

\frac{-4x-13}{5}-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

3x-க்கு -\frac{24x}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{78}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{9}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=-\frac{143}{9}$$

y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}-இல் x-க்கு -\frac{143}{9}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{143}{9}-ஐ -\frac{4}{5} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{572}{45} உடன் -\frac{13}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=\frac{91}{9}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 4x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$5y+4x=-13$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 4x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$5y+4x=-13$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

5y மற்றும் 6y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

எளிமையாக்கவும்.

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 30y+24x=-78-இலிருந்து 30y+15x=65-ஐக் கழிக்கவும்.

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

-30y-க்கு 30y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 30y மற்றும் -30y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$24x-15x=-78-65$$

-15x-க்கு 24x-ஐக் கூட்டவும்.

$$9x=-78-65$$

-65-க்கு -78-ஐக் கூட்டவும்.

$$9x=-143$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{143}{9}$$

6y+3x=13-இல் x-க்கு -\frac{143}{9}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

-\frac{143}{9}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{143}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$6y=\frac{182}{3}$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{91}{9}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$