{l}{5x-10y=12}{-6x-10y=15}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 10 y = 12 } \\ { - 6 x - 10 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

$$y = -\frac{147}{110} = -1\frac{37}{110} \approx -1.336363636$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5x-10y=12,-6x-10y=15$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5x-10y=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x=10y+12$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}\left(10y+12\right)$$

10y+12-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=2y+\frac{12}{5}$$

பிற சமன்பாடு -6x-10y=15-இல் x-க்கு 2y+\frac{12}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-6\left(2y+\frac{12}{5}\right)-10y=15$$

2y+\frac{12}{5}-ஐ -6 முறை பெருக்கவும்.

$$-12y-\frac{72}{5}-10y=15$$

-10y-க்கு -12y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-22y-\frac{72}{5}=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{72}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-22y=\frac{147}{5}$$

இரு பக்கங்களையும் -22-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{147}{110}$$

x=2y+\frac{12}{5}-இல் y-க்கு -\frac{147}{110}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=2\left(-\frac{147}{110}\right)+\frac{12}{5}$$

-\frac{147}{110}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{147}{55}+\frac{12}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{147}{55} உடன் \frac{12}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{3}{11},y=-\frac{147}{110}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x-10y=12,-6x-10y=15$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&-10\\-6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-10\\-6&-10\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-10\\-6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-10\\-6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-10\\-6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-10\\-6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-10\\-6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{5\left(-10\right)-\left(-10\left(-6\right)\right)}&-\frac{-10}{5\left(-10\right)-\left(-10\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\left(-10\right)-\left(-10\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-10\right)-\left(-10\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{3}{55}&-\frac{1}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 12-\frac{1}{11}\times 15\\-\frac{3}{55}\times 12-\frac{1}{22}\times 15\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\-\frac{147}{110}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{11},y=-\frac{147}{110}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5x-10y=12,-6x-10y=15$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 5x-10y=12-இலிருந்து -6x-10y=15-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x+6x-10y+10y=12-15$$

10y-க்கு -10y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -10y மற்றும் 10y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$5x+6x=12-15$$

6x-க்கு 5x-ஐக் கூட்டவும்.

$$11x=12-15$$

-15-க்கு 12-ஐக் கூட்டவும்.

$$11x=-3$$

இரு பக்கங்களையும் 11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{11}$$

-6x-10y=15-இல் x-க்கு -\frac{3}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-6\left(-\frac{3}{11}\right)-10y=15$$

-\frac{3}{11}-ஐ -6 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{18}{11}-10y=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{18}{11}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-10y=\frac{147}{11}$$

இரு பக்கங்களையும் -10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{147}{110}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{3}{11},y=-\frac{147}{110}$$