{l}{5b+c=8}{4b+4c=8}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 5 b + c = 8 } \\ { 4 b + 4 c = 8 } \end{array} \right.$$

b, c-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$c=\frac{1}{2}=0.5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் b-ஐத் தனிப்படுத்தி b-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5b+c=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் c-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5b=-c+8$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=\frac{1}{5}\left(-c+8\right)$$

-c+8-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}$$

பிற சமன்பாடு 4b+4c=8-இல் b-க்கு \frac{-c+8}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}\right)+4c=8$$

\frac{-c+8}{5}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{4}{5}c+\frac{32}{5}+4c=8$$

4c-க்கு -\frac{4c}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{16}{5}c+\frac{32}{5}=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{32}{5}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{16}{5}c=\frac{8}{5}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{16}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$c=\frac{1}{2}$$

b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}-இல் c-க்கு \frac{1}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக b-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$b=-\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{8}{5}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{1}{2}-ஐ -\frac{1}{5} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$b=-\frac{1}{10}+\frac{8}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{1}{10} உடன் \frac{8}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$b=\frac{3}{2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-4}&-\frac{1}{5\times 4-4}\\-\frac{4}{5\times 4-4}&\frac{5}{5\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{16}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{5}{16}\times 8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் b மற்றும் c-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

5b மற்றும் 4b-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 5b+4c=4\times 8,5\times 4b+5\times 4c=5\times 8$$

எளிமையாக்கவும்.

$$20b+4c=32,20b+20c=40$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 20b+4c=32-இலிருந்து 20b+20c=40-ஐக் கழிக்கவும்.

$$20b-20b+4c-20c=32-40$$

-20b-க்கு 20b-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 20b மற்றும் -20b ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$4c-20c=32-40$$

-20c-க்கு 4c-ஐக் கூட்டவும்.

$$-16c=32-40$$

-40-க்கு 32-ஐக் கூட்டவும்.

$$-16c=-8$$

இரு பக்கங்களையும் -16-ஆல் வகுக்கவும்.

$$c=\frac{1}{2}$$

4b+4c=8-இல் c-க்கு \frac{1}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக b-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4b+4\times \frac{1}{2}=8$$

\frac{1}{2}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$4b+2=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4b=6$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=\frac{3}{2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$