{l}{45x-2y=2}{x+2y=7}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 45 x - 2 y = 2 } \\ { x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{9}{46}\approx 0.195652174$$

$$y = \frac{313}{92} = 3\frac{37}{92} \approx 3.402173913$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$45x-2y=2,x+2y=7$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$45x-2y=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$45x=2y+2$$

இரு பக்கங்களையும் 45-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{45}\left(2y+2\right)$$

2+2y-ஐ \frac{1}{45} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{2}{45}y+\frac{2}{45}$$

பிற சமன்பாடு x+2y=7-இல் x-க்கு \frac{2+2y}{45}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{2}{45}y+\frac{2}{45}+2y=7$$

2y-க்கு \frac{2y}{45}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{92}{45}y+\frac{2}{45}=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{2}{45}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{92}{45}y=\frac{313}{45}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{92}{45}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{313}{92}$$

x=\frac{2}{45}y+\frac{2}{45}-இல் y-க்கு \frac{313}{92}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{2}{45}\times \frac{313}{92}+\frac{2}{45}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{313}{92}-ஐ \frac{2}{45} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{313}{2070}+\frac{2}{45}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{313}{2070} உடன் \frac{2}{45}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{9}{46}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{9}{46},y=\frac{313}{92}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$45x-2y=2,x+2y=7$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}45&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}45&-2\\1&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}45&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}45&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}45&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}45&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{45\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{45\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{45\times 2-\left(-2\right)}&\frac{45}{45\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{1}{46}\\-\frac{1}{92}&\frac{45}{92}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 2+\frac{1}{46}\times 7\\-\frac{1}{92}\times 2+\frac{45}{92}\times 7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{46}\\\frac{313}{92}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{9}{46},y=\frac{313}{92}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$45x-2y=2,x+2y=7$$

45x மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 45-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$45x-2y=2,45x+45\times 2y=45\times 7$$

எளிமையாக்கவும்.

$$45x-2y=2,45x+90y=315$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 45x-2y=2-இலிருந்து 45x+90y=315-ஐக் கழிக்கவும்.

$$45x-45x-2y-90y=2-315$$

-45x-க்கு 45x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 45x மற்றும் -45x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-2y-90y=2-315$$

-90y-க்கு -2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-92y=2-315$$

-315-க்கு 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$-92y=-313$$

இரு பக்கங்களையும் -92-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{313}{92}$$

x+2y=7-இல் y-க்கு \frac{313}{92}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x+2\times \frac{313}{92}=7$$

\frac{313}{92}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x+\frac{313}{46}=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{313}{46}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=\frac{9}{46}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{9}{46},y=\frac{313}{92}$$