{l}{3x-5y=3}{4x+2y=6}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 3 } \\ { 4 x + 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y=\frac{3}{13}\approx 0.230769231$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x-5y=3,4x+2y=6$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x-5y=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=5y+3$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+3\right)$$

5y+3-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{5}{3}y+1$$

பிற சமன்பாடு 4x+2y=6-இல் x-க்கு \frac{5y}{3}+1-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(\frac{5}{3}y+1\right)+2y=6$$

\frac{5y}{3}+1-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{20}{3}y+4+2y=6$$

2y-க்கு \frac{20y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{26}{3}y+4=6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{26}{3}y=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{26}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{3}{13}$$

x=\frac{5}{3}y+1-இல் y-க்கு \frac{3}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{5}{3}\times \frac{3}{13}+1$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{3}{13}-ஐ \frac{5}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{5}{13}+1$$

\frac{5}{13}-க்கு 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{18}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{3}{13}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-5y=3,4x+2y=6$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 3+\frac{5}{26}\times 6\\-\frac{2}{13}\times 3+\frac{3}{26}\times 6\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\\frac{3}{13}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{3}{13}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x-5y=3,4x+2y=6$$

3x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 3,3\times 4x+3\times 2y=3\times 6$$

எளிமையாக்கவும்.

$$12x-20y=12,12x+6y=18$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 12x-20y=12-இலிருந்து 12x+6y=18-ஐக் கழிக்கவும்.

$$12x-12x-20y-6y=12-18$$

-12x-க்கு 12x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 12x மற்றும் -12x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-20y-6y=12-18$$

-6y-க்கு -20y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-26y=12-18$$

-18-க்கு 12-ஐக் கூட்டவும்.

$$-26y=-6$$

இரு பக்கங்களையும் -26-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{3}{13}$$

4x+2y=6-இல் y-க்கு \frac{3}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x+2\times \frac{3}{13}=6$$

\frac{3}{13}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$4x+\frac{6}{13}=6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{6}{13}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=\frac{72}{13}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{18}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{18}{13},y=\frac{3}{13}$$