{l}{3x+y=24}{7x-3y=28}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 24 } \\ { 7 x - 3 y = 28 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4} = 6.25$$

$$y = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4} = 5.25$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+y=24,7x-3y=28$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+y=24$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-y+24$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+24\right)$$

-y+24-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{3}y+8$$

பிற சமன்பாடு 7x-3y=28-இல் x-க்கு -\frac{y}{3}+8-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$7\left(-\frac{1}{3}y+8\right)-3y=28$$

-\frac{y}{3}+8-ஐ 7 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{7}{3}y+56-3y=28$$

-3y-க்கு -\frac{7y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{16}{3}y+56=28$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 56-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{16}{3}y=-28$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{16}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{21}{4}$$

x=-\frac{1}{3}y+8-இல் y-க்கு \frac{21}{4}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{21}{4}+8$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{21}{4}-ஐ -\frac{1}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{7}{4}+8$$

-\frac{7}{4}-க்கு 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{25}{4}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{25}{4},y=\frac{21}{4}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+y=24,7x-3y=28$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\7&-3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-7}&-\frac{1}{3\left(-3\right)-7}\\-\frac{7}{3\left(-3\right)-7}&\frac{3}{3\left(-3\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{7}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 24+\frac{1}{16}\times 28\\\frac{7}{16}\times 24-\frac{3}{16}\times 28\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{4}\\\frac{21}{4}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{25}{4},y=\frac{21}{4}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+y=24,7x-3y=28$$

3x மற்றும் 7x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 7-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$7\times 3x+7y=7\times 24,3\times 7x+3\left(-3\right)y=3\times 28$$

எளிமையாக்கவும்.

$$21x+7y=168,21x-9y=84$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 21x+7y=168-இலிருந்து 21x-9y=84-ஐக் கழிக்கவும்.

$$21x-21x+7y+9y=168-84$$

-21x-க்கு 21x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 21x மற்றும் -21x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$7y+9y=168-84$$

9y-க்கு 7y-ஐக் கூட்டவும்.

$$16y=168-84$$

-84-க்கு 168-ஐக் கூட்டவும்.

$$16y=84$$

இரு பக்கங்களையும் 16-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{21}{4}$$

7x-3y=28-இல் y-க்கு \frac{21}{4}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$7x-3\times \frac{21}{4}=28$$

\frac{21}{4}-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$7x-\frac{63}{4}=28$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{63}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$7x=\frac{175}{4}$$

இரு பக்கங்களையும் 7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{25}{4}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{25}{4},y=\frac{21}{4}$$