{l}{3x+2y=7}{6x-4y=2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 6 x - 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+2y=7,6x-4y=2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+2y=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-2y+7$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

-2y+7-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

பிற சமன்பாடு 6x-4y=2-இல் x-க்கு \frac{-2y+7}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-4y=2$$

\frac{-2y+7}{3}-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$-4y+14-4y=2$$

-4y-க்கு -4y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-8y+14=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 14-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-8y=-12$$

இரு பக்கங்களையும் -8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{3}{2}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}-இல் y-க்கு \frac{3}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}+\frac{7}{3}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{3}{2}-ஐ -\frac{2}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-1+\frac{7}{3}$$

-1-க்கு \frac{7}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{4}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{3}{2}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+2y=7,6x-4y=2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 6}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-4\right)-2\times 6}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 7+\frac{1}{12}\times 2\\\frac{1}{4}\times 7-\frac{1}{8}\times 2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{3}{2}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+2y=7,6x-4y=2$$

3x மற்றும் 6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 7,3\times 6x+3\left(-4\right)y=3\times 2$$

எளிமையாக்கவும்.

$$18x+12y=42,18x-12y=6$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 18x+12y=42-இலிருந்து 18x-12y=6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$18x-18x+12y+12y=42-6$$

-18x-க்கு 18x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 18x மற்றும் -18x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$12y+12y=42-6$$

12y-க்கு 12y-ஐக் கூட்டவும்.

$$24y=42-6$$

-6-க்கு 42-ஐக் கூட்டவும்.

$$24y=36$$

இரு பக்கங்களையும் 24-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{3}{2}$$

6x-4y=2-இல் y-க்கு \frac{3}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$6x-4\times \frac{3}{2}=2$$

\frac{3}{2}-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$6x-6=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 6-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x=8$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{4}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{3}{2}$$