{l}{3*a+c=5}{a-c=7}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 \cdot a + c = 5 } \\ { a - c = 7 } \end{array} \right.$$

a, c-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$a=3$$

$$c=-4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3a+c=5,a-c=7$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் a-ஐத் தனிப்படுத்தி a-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3a+c=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் c-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3a=-c+5$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=\frac{1}{3}\left(-c+5\right)$$

-c+5-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}$$

பிற சமன்பாடு a-c=7-இல் a-க்கு \frac{-c+5}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}-c=7$$

-c-க்கு -\frac{c}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{4}{3}c+\frac{5}{3}=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{5}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{4}{3}c=\frac{16}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{4}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$c=-4$$

a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}-இல் c-க்கு -4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

-4-ஐ -\frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$a=\frac{4+5}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{4}{3} உடன் \frac{5}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$a=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=3,c=-4$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3a+c=5,a-c=7$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் a மற்றும் c-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$a=3,c=-4$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3a+c=5,a-c=7$$

3a மற்றும் a-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3a+c=5,3a+3\left(-1\right)c=3\times 7$$

எளிமையாக்கவும்.

$$3a+c=5,3a-3c=21$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3a+c=5-இலிருந்து 3a-3c=21-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3a-3a+c+3c=5-21$$

-3a-க்கு 3a-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3a மற்றும் -3a ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$c+3c=5-21$$

3c-க்கு c-ஐக் கூட்டவும்.

$$4c=5-21$$

-21-க்கு 5-ஐக் கூட்டவும்.

$$4c=-16$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$c=-4$$

a-c=7-இல் c-க்கு -4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$a-\left(-4\right)=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$a=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=3,c=-4$$