{l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+y-7=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 7-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x+y=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-y+7$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

-y+7-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

பிற சமன்பாடு 17x-11y-8=0-இல் x-க்கு \frac{-y+7}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

\frac{-y+7}{2}-ஐ 17 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

-11y-க்கு -\frac{17y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

-8-க்கு \frac{119}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{103}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{39}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{103}{39}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}-இல் y-க்கு \frac{103}{39}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{103}{39}-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{103}{78} உடன் \frac{7}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{85}{39}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

2x மற்றும் 17x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 17-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 34x+17y-119=0-இலிருந்து 34x-22y-16=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

-34x-க்கு 34x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 34x மற்றும் -34x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$17y+22y-119+16=0$$

22y-க்கு 17y-ஐக் கூட்டவும்.

$$39y-119+16=0$$

16-க்கு -119-ஐக் கூட்டவும்.

$$39y-103=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 103-ஐக் கூட்டவும்.

$$39y=103$$

இரு பக்கங்களையும் 39-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{103}{39}$$

17x-11y-8=0-இல் y-க்கு \frac{103}{39}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

\frac{103}{39}-ஐ -11 முறை பெருக்கவும்.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

-8-க்கு -\frac{1133}{39}-ஐக் கூட்டவும்.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{1445}{39}-ஐக் கூட்டவும்.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

இரு பக்கங்களையும் 17-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{85}{39}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$