{l}{2x+5y=7}{-3x+y=15}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 7 } \\ { - 3 x + y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-4$$

$$y=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+5y=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-5y+7$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+7\right)$$

-5y+7-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}$$

பிற சமன்பாடு -3x+y=15-இல் x-க்கு \frac{-5y+7}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)+y=15$$

\frac{-5y+7}{2}-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{15}{2}y-\frac{21}{2}+y=15$$

y-க்கு \frac{15y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{17}{2}y-\frac{21}{2}=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{21}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{17}{2}y=\frac{51}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{17}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=3$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}-இல் y-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{5}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

3-ஐ -\frac{5}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-15+7}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{15}{2} உடன் \frac{7}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-4,y=3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{2-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-5\left(-3\right)}&\frac{2}{2-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 7-\frac{5}{17}\times 15\\\frac{3}{17}\times 7+\frac{2}{17}\times 15\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-4,y=3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

2x மற்றும் -3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-3\times 2x-3\times 5y=-3\times 7,2\left(-3\right)x+2y=2\times 15$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-6x-15y=-21,-6x+2y=30$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -6x-15y=-21-இலிருந்து -6x+2y=30-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6x+6x-15y-2y=-21-30$$

6x-க்கு -6x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -6x மற்றும் 6x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-15y-2y=-21-30$$

-2y-க்கு -15y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-17y=-21-30$$

-30-க்கு -21-ஐக் கூட்டவும்.

$$-17y=-51$$

இரு பக்கங்களையும் -17-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=3$$

-3x+y=15-இல் y-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-3x+3=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x=12$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-4,y=3$$