{l}{2x+3y=9}{4x+9y=1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 9 } \\ { 4 x + 9 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=13$$

$$y = -\frac{17}{3} = -5\frac{2}{3} \approx -5.666666667$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+3y=9,4x+9y=1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+3y=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-3y+9$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+9\right)$$

-3y+9-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}$$

பிற சமன்பாடு 4x+9y=1-இல் x-க்கு \frac{-3y+9}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}\right)+9y=1$$

\frac{-3y+9}{2}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-6y+18+9y=1$$

9y-க்கு -6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y+18=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 18-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y=-17$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{17}{3}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}-இல் y-க்கு -\frac{17}{3}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{17}{3}\right)+\frac{9}{2}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{17}{3}-ஐ -\frac{3}{2} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{17+9}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{17}{2} உடன் \frac{9}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=13$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=13,y=-\frac{17}{3}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+3y=9,4x+9y=1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 9-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 9-3\times 4}&\frac{2}{2\times 9-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 9-\frac{1}{2}\\-\frac{2}{3}\times 9+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-\frac{17}{3}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=13,y=-\frac{17}{3}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+3y=9,4x+9y=1$$

2x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 9,2\times 4x+2\times 9y=2$$

எளிமையாக்கவும்.

$$8x+12y=36,8x+18y=2$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 8x+12y=36-இலிருந்து 8x+18y=2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8x-8x+12y-18y=36-2$$

-8x-க்கு 8x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 8x மற்றும் -8x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$12y-18y=36-2$$

-18y-க்கு 12y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-6y=36-2$$

-2-க்கு 36-ஐக் கூட்டவும்.

$$-6y=34$$

இரு பக்கங்களையும் -6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{17}{3}$$

4x+9y=1-இல் y-க்கு -\frac{17}{3}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x+9\left(-\frac{17}{3}\right)=1$$

-\frac{17}{3}-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$4x-51=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 51-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=52$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=13$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=13,y=-\frac{17}{3}$$