{l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும் (சிக்கலான தீர்வு)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2bx+ay=2ab$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் ay-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

இரு பக்கங்களையும் 2b-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

a\left(-y+2b\right)-ஐ \frac{1}{2b} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

பிற சமன்பாடு bx+\left(-a\right)y=4ab-இல் x-க்கு a-\frac{ay}{2b}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

a-\frac{ay}{2b}-ஐ b முறை பெருக்கவும்.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

-ay-க்கு -\frac{ay}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் ba-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

இரு பக்கங்களையும் -\frac{3a}{2}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-2b$$

x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a-இல் y-க்கு -2b-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-2b-ஐ -\frac{a}{2b} முறை பெருக்கவும்.

$$x=a+a$$

a-க்கு a-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=2a$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2a,y=-2b$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=2a,y=-2b$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx மற்றும் bx-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் b-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2b-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

எளிமையாக்கவும்.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2b^{2}x+aby=2ab^{2}-இலிருந்து 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-2b^{2}x-க்கு 2b^{2}x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 2b^{2}x மற்றும் -2b^{2}x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2bay-க்கு bay-ஐக் கூட்டவும்.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-8ab^{2}-க்கு 2ab^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$3aby=-6ab^{2}$$

இரு பக்கங்களையும் 3ba-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-2b$$

bx+\left(-a\right)y=4ab-இல் y-க்கு -2b-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-2b-ஐ -a முறை பெருக்கவும்.

$$bx+2ab=4ab$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2ba-ஐக் கழிக்கவும்.

$$bx=2ab$$

இரு பக்கங்களையும் b-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=2a$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2a,y=-2b$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2bx+ay=2ab$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் ay-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

இரு பக்கங்களையும் 2b-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

a\left(-y+2b\right)-ஐ \frac{1}{2b} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

பிற சமன்பாடு bx+\left(-a\right)y=4ab-இல் x-க்கு a-\frac{ay}{2b}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

a-\frac{ay}{2b}-ஐ b முறை பெருக்கவும்.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

-ay-க்கு -\frac{ay}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் ba-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

இரு பக்கங்களையும் -\frac{3a}{2}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-2b$$

x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a-இல் y-க்கு -2b-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-2b-ஐ -\frac{a}{2b} முறை பெருக்கவும்.

$$x=a+a$$

a-க்கு a-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=2a$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2a,y=-2b$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=2a,y=-2b$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx மற்றும் bx-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் b-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2b-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

எளிமையாக்கவும்.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2b^{2}x+aby=2ab^{2}-இலிருந்து 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-2b^{2}x-க்கு 2b^{2}x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 2b^{2}x மற்றும் -2b^{2}x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2bay-க்கு bay-ஐக் கூட்டவும்.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-8ab^{2}-க்கு 2ab^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$3aby=-6ab^{2}$$

இரு பக்கங்களையும் 3ba-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-2b$$

bx+\left(-a\right)y=4ab-இல் y-க்கு -2b-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-2b-ஐ -a முறை பெருக்கவும்.

$$bx+2ab=4ab$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2ba-ஐக் கழிக்கவும்.

$$bx=2ab$$

இரு பக்கங்களையும் b-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=2a$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2a,y=-2b$$