{l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-28$$

$$y=63$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$11x+5y=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$11x=-5y+7$$

இரு பக்கங்களையும் 11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

-5y+7-ஐ \frac{1}{11} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

பிற சமன்பாடு 6x+3y=21-இல் x-க்கு \frac{-5y+7}{11}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

\frac{-5y+7}{11}-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

3y-க்கு -\frac{30y}{11}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{42}{11}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{3}{11}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=63$$

x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}-இல் y-க்கு 63-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

63-ஐ -\frac{5}{11} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{315}{11} உடன் \frac{7}{11}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-28$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-28,y=63$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-28,y=63$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

11x மற்றும் 6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 11-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

எளிமையாக்கவும்.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 66x+30y=42-இலிருந்து 66x+33y=231-ஐக் கழிக்கவும்.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

-66x-க்கு 66x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 66x மற்றும் -66x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$30y-33y=42-231$$

-33y-க்கு 30y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3y=42-231$$

-231-க்கு 42-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3y=-189$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=63$$

6x+3y=21-இல் y-க்கு 63-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$6x+3\times 63=21$$

63-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$6x+189=21$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 189-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x=-168$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-28$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-28,y=63$$