{l}{-7x+y=22}{-6x+2y=20}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x + y = 22 } \\ { - 6 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-3$$

$$y=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-7x+y=22,-6x+2y=20$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-7x+y=22$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-7x=-y+22$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-y+22\right)$$

-y+22-ஐ -\frac{1}{7} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{22}{7}$$

பிற சமன்பாடு -6x+2y=20-இல் x-க்கு \frac{-22+y}{7}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-6\left(\frac{1}{7}y-\frac{22}{7}\right)+2y=20$$

\frac{-22+y}{7}-ஐ -6 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{6}{7}y+\frac{132}{7}+2y=20$$

2y-க்கு -\frac{6y}{7}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{8}{7}y+\frac{132}{7}=20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{132}{7}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{8}{7}y=\frac{8}{7}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{8}{7}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=1$$

x=\frac{1}{7}y-\frac{22}{7}-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1-22}{7}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{1}{7} உடன் -\frac{22}{7}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-3,y=1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-7x+y=22,-6x+2y=20$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-7&1\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&1\\-6&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&1\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&1\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&1\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&1\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&1\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-\left(-6\right)}&-\frac{1}{-7\times 2-\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{3}{4}&\frac{7}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 22+\frac{1}{8}\times 20\\-\frac{3}{4}\times 22+\frac{7}{8}\times 20\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-3,y=1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-7x+y=22,-6x+2y=20$$

-7x மற்றும் -6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -7-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-6\left(-7\right)x-6y=-6\times 22,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 20$$

எளிமையாக்கவும்.

$$42x-6y=-132,42x-14y=-140$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 42x-6y=-132-இலிருந்து 42x-14y=-140-ஐக் கழிக்கவும்.

$$42x-42x-6y+14y=-132+140$$

-42x-க்கு 42x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 42x மற்றும் -42x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-6y+14y=-132+140$$

14y-க்கு -6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$8y=-132+140$$

140-க்கு -132-ஐக் கூட்டவும்.

$$8y=8$$

இரு பக்கங்களையும் 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=1$$

-6x+2y=20-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-6x+2=20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6x=18$$

இரு பக்கங்களையும் -6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-3,y=1$$