{l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=7$$

$$y=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-3y+4x=13$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3y=-4x+13$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

-4x+13-ஐ -\frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

பிற சமன்பாடு -5y-6x=-67-இல் y-க்கு \frac{4x-13}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

\frac{4x-13}{3}-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

-6x-க்கு -\frac{20x}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{65}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{38}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=7$$

y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}-இல் x-க்கு 7-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

7-ஐ \frac{4}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{28-13}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{28}{3} உடன் -\frac{13}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=5,x=7$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=5,x=7$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

-3y மற்றும் -5y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -5-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 15y-20x=-65-இலிருந்து 15y+18x=201-ஐக் கழிக்கவும்.

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

-15y-க்கு 15y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 15y மற்றும் -15y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-20x-18x=-65-201$$

-18x-க்கு -20x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-38x=-65-201$$

-201-க்கு -65-ஐக் கூட்டவும்.

$$-38x=-266$$

இரு பக்கங்களையும் -38-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=7$$

-5y-6x=-67-இல் x-க்கு 7-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-5y-6\times 7=-67$$

7-ஐ -6 முறை பெருக்கவும்.

$$-5y-42=-67$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 42-ஐக் கூட்டவும்.

$$-5y=-25$$

இரு பக்கங்களையும் -5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=5,x=7$$