{l}{-11x+3y=14}{x-y=6}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { - 11 x + 3 y = 14 } \\ { x - y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-4$$

$$y=-10$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-11x+3y=14,x-y=6$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-11x+3y=14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-11x=-3y+14$$

இரு பக்கங்களையும் -11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-3y+14\right)$$

-3y+14-ஐ -\frac{1}{11} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{3}{11}y-\frac{14}{11}$$

பிற சமன்பாடு x-y=6-இல் x-க்கு \frac{3y-14}{11}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{3}{11}y-\frac{14}{11}-y=6$$

-y-க்கு \frac{3y}{11}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{8}{11}y-\frac{14}{11}=6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{14}{11}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{8}{11}y=\frac{80}{11}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{8}{11}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-10$$

x=\frac{3}{11}y-\frac{14}{11}-இல் y-க்கு -10-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{3}{11}\left(-10\right)-\frac{14}{11}$$

-10-ஐ \frac{3}{11} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-30-14}{11}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{30}{11} உடன் -\frac{14}{11}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-4,y=-10$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-11x+3y=14,x-y=6$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-11&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-11&3\\1&-1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-11\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{-11\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{-11\left(-1\right)-3}&-\frac{11}{-11\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{8}&-\frac{11}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 14-\frac{3}{8}\times 6\\-\frac{1}{8}\times 14-\frac{11}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-10\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-4,y=-10$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-11x+3y=14,x-y=6$$

-11x மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -11-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-11x+3y=14,-11x-11\left(-1\right)y=-11\times 6$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-11x+3y=14,-11x+11y=-66$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -11x+3y=14-இலிருந்து -11x+11y=-66-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-11x+11x+3y-11y=14+66$$

11x-க்கு -11x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -11x மற்றும் 11x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$3y-11y=14+66$$

-11y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-8y=14+66$$

66-க்கு 14-ஐக் கூட்டவும்.

$$-8y=80$$

இரு பக்கங்களையும் -8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-10$$

x-y=6-இல் y-க்கு -10-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x-\left(-10\right)=6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-4,y=-10$$