{l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=5$$

$$y=7$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். x-2-ஐ y+5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

x-1-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் xy-ஐக் கழிக்கவும்.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

xy மற்றும் -xy-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

5x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-2y மற்றும் y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -y.

$$3x-y-10=-2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 10-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-y=-2+10$$

-2 மற்றும் 10-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 8.

$$3x-y=8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். y-3-ஐ x+4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

x+7-ஐ y-4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் xy-ஐக் கழிக்கவும்.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

yx மற்றும் -xy-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

-3x மற்றும் 4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$4y+x-12=7y-28$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y+x-12-7y=-28$$

4y மற்றும் -7y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 12-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-3y+x=-28+12$$

-28 மற்றும் 12-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -16.

$$-3y+x=-16$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x-y=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=y+8$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

y+8-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

பிற சமன்பாடு x-3y=-16-இல் x-க்கு \frac{8+y}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

-3y-க்கு \frac{y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{8}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{8}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=7$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-இல் y-க்கு 7-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

7-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{7+8}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{7}{3} உடன் \frac{8}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=5,y=7$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். x-2-ஐ y+5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

x-1-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் xy-ஐக் கழிக்கவும்.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

xy மற்றும் -xy-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

5x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-2y மற்றும் y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -y.

$$3x-y-10=-2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 10-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-y=-2+10$$

-2 மற்றும் 10-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 8.

$$3x-y=8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். y-3-ஐ x+4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

x+7-ஐ y-4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் xy-ஐக் கழிக்கவும்.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

yx மற்றும் -xy-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

-3x மற்றும் 4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$4y+x-12=7y-28$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y+x-12-7y=-28$$

4y மற்றும் -7y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 12-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-3y+x=-28+12$$

-28 மற்றும் 12-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -16.

$$-3y+x=-16$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=5,y=7$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். x-2-ஐ y+5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

x-1-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் xy-ஐக் கழிக்கவும்.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

xy மற்றும் -xy-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

5x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-2y-10+y=-2$$

-2y மற்றும் y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -y.

$$3x-y-10=-2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 10-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-y=-2+10$$

-2 மற்றும் 10-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 8.

$$3x-y=8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். y-3-ஐ x+4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

x+7-ஐ y-4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் xy-ஐக் கழிக்கவும்.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

yx மற்றும் -xy-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

-3x மற்றும் 4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$4y+x-12=7y-28$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y+x-12-7y=-28$$

4y மற்றும் -7y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 12-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-3y+x=-28+12$$

-28 மற்றும் 12-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -16.

$$-3y+x=-16$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

3x மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3x-y=8-இலிருந்து 3x-9y=-48-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

-3x-க்கு 3x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3x மற்றும் -3x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-y+9y=8+48$$

9y-க்கு -y-ஐக் கூட்டவும்.

$$8y=8+48$$

48-க்கு 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$8y=56$$

இரு பக்கங்களையும் 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=7$$

x-3y=-16-இல் y-க்கு 7-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x-3\times 7=-16$$

7-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$x-21=-16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 21-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=5,y=7$$