{l}{y+2/x*3=-1}{y+2/2=3*x/2+3}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 } { x } * 3 = - 1 } \\ { \frac { y + 2 } { 2 } = 3 * \frac { x } { 2 } + 3 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{9}{5} = -1\frac{4}{5} = -1.8$$

$$y = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$\frac{y+2}{x}=-\frac{1}{3}$$

பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் x,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 3x-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(y+2\right)=-x$$

3-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3y+6=-x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3y+6+x=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$3y+x=-6$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y+2=3x+6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y+2-3x=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-3x=6-2$$

6-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 4.

$$y-3x=4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3y+x=-6,y-3x=4$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3y+x=-6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y=-x-6$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x-6\right)$$

-x-6-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-\frac{1}{3}x-2$$

பிற சமன்பாடு y-3x=4-இல் y-க்கு -\frac{x}{3}-2-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{1}{3}x-2-3x=4$$

-3x-க்கு -\frac{x}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{10}{3}x-2=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{10}{3}x=6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{10}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=-\frac{9}{5}$$

y=-\frac{1}{3}x-2-இல் x-க்கு -\frac{9}{5}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-\frac{1}{3}\left(-\frac{9}{5}\right)-2$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{9}{5}-ஐ -\frac{1}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=\frac{3}{5}-2$$

\frac{3}{5}-க்கு -2-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=-\frac{7}{5}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-\frac{7}{5},x=-\frac{9}{5}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$\frac{y+2}{x}=-\frac{1}{3}$$

பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் x,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 3x-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(y+2\right)=-x$$

3-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3y+6=-x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3y+6+x=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$3y+x=-6$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y+2=3x+6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y+2-3x=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-3x=6-2$$

6-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 4.

$$y-3x=4$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3y+x=-6,y-3x=4$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-3\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-1}&\frac{3}{3\left(-3\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\4\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-6\right)+\frac{1}{10}\times 4\\\frac{1}{10}\left(-6\right)-\frac{3}{10}\times 4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=-\frac{7}{5},x=-\frac{9}{5}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$\frac{y+2}{x}=-\frac{1}{3}$$

பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் x,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 3x-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(y+2\right)=-x$$

3-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3y+6=-x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3y+6+x=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$3y+x=-6$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y+2=3x+6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y+2-3x=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-3x=6-2$$

6-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 4.

$$y-3x=4$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3y+x=-6,y-3x=4$$

3y மற்றும் y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3y+x=-6,3y+3\left(-3\right)x=3\times 4$$

எளிமையாக்கவும்.

$$3y+x=-6,3y-9x=12$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3y+x=-6-இலிருந்து 3y-9x=12-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-3y+x+9x=-6-12$$

-3y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3y மற்றும் -3y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$x+9x=-6-12$$

9x-க்கு x-ஐக் கூட்டவும்.

$$10x=-6-12$$

-12-க்கு -6-ஐக் கூட்டவும்.

$$10x=-18$$

இரு பக்கங்களையும் 10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{9}{5}$$

y-3x=4-இல் x-க்கு -\frac{9}{5}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y-3\left(-\frac{9}{5}\right)=4$$

-\frac{9}{5}-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$y+\frac{27}{5}=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{27}{5}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=-\frac{7}{5}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-\frac{7}{5},x=-\frac{9}{5}$$