{l}{x-3/5=y-7/2}{11x=13y}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 5 } = \frac { y - 7 } { 2 } } \\ { 11 x = 13 y } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=13$$

$$y=11$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 10-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

2-ஐ x-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

5-ஐ y-7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-6=5y-35$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-6-5y=-35$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2x-5y=-35+6$$

-35 மற்றும் 6-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -29.

$$2x-5y=-29$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 13y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$11x-13y=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x-5y=-29$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=5y-29$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-29\right)$$

5y-29-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}$$

பிற சமன்பாடு 11x-13y=0-இல் x-க்கு \frac{5y-29}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$11\left(\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}\right)-13y=0$$

\frac{5y-29}{2}-ஐ 11 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{55}{2}y-\frac{319}{2}-13y=0$$

-13y-க்கு \frac{55y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{29}{2}y-\frac{319}{2}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{319}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{29}{2}y=\frac{319}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{29}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=11$$

x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}-இல் y-க்கு 11-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{5}{2}\times 11-\frac{29}{2}$$

11-ஐ \frac{5}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{55-29}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{55}{2} உடன் -\frac{29}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=13$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=13,y=11$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 10-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

2-ஐ x-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

5-ஐ y-7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-6=5y-35$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-6-5y=-35$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2x-5y=-35+6$$

-35 மற்றும் 6-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -29.

$$2x-5y=-29$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 13y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$11x-13y=0$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&-\frac{-5}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\\-\frac{11}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&\frac{2}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}&\frac{5}{29}\\-\frac{11}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}\left(-29\right)\\-\frac{11}{29}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=13,y=11$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 10-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

2-ஐ x-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

5-ஐ y-7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-6=5y-35$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-6-5y=-35$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2x-5y=-35+6$$

-35 மற்றும் 6-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -29.

$$2x-5y=-29$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 13y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$11x-13y=0$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

2x மற்றும் 11x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 11-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$11\times 2x+11\left(-5\right)y=11\left(-29\right),2\times 11x+2\left(-13\right)y=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$22x-55y=-319,22x-26y=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 22x-55y=-319-இலிருந்து 22x-26y=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$22x-22x-55y+26y=-319$$

-22x-க்கு 22x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 22x மற்றும் -22x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-55y+26y=-319$$

26y-க்கு -55y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-29y=-319$$

இரு பக்கங்களையும் -29-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=11$$

11x-13y=0-இல் y-க்கு 11-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$11x-13\times 11=0$$

11-ஐ -13 முறை பெருக்கவும்.

$$11x-143=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 143-ஐக் கூட்டவும்.

$$11x=143$$

இரு பக்கங்களையும் 11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=13$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=13,y=11$$