{l}{x/8-y=-5/2}{3x+y/3=13}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 8 } - y = - \frac { 5 } { 2 } } \\ { 3 x + \frac { y } { 3 } = 13 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=4$$

$$y=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{8}x=y-\frac{5}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் 8-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=8\left(y-\frac{5}{2}\right)$$

y-\frac{5}{2}-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$x=8y-20$$

பிற சமன்பாடு 3x+\frac{1}{3}y=13-இல் x-க்கு 8y-20-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(8y-20\right)+\frac{1}{3}y=13$$

8y-20-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$24y-60+\frac{1}{3}y=13$$

\frac{y}{3}-க்கு 24y-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{73}{3}y-60=13$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 60-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{73}{3}y=73$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{73}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=3$$

x=8y-20-இல் y-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=8\times 3-20$$

3-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$x=24-20$$

24-க்கு -20-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-1\\3&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&\frac{24}{73}\\-\frac{72}{73}&\frac{3}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\13\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{24}{73}\times 13\\-\frac{72}{73}\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{3}{73}\times 13\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=4,y=3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$\frac{1}{8}x-y=-\frac{5}{2},3x+\frac{1}{3}y=13$$

\frac{x}{8} மற்றும் 3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் \frac{1}{8}-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times \frac{1}{8}x+3\left(-1\right)y=3\left(-\frac{5}{2}\right),\frac{1}{8}\times 3x+\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{8}\times 13$$

எளிமையாக்கவும்.

$$\frac{3}{8}x-3y=-\frac{15}{2},\frac{3}{8}x+\frac{1}{24}y=\frac{13}{8}$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் \frac{3}{8}x-3y=-\frac{15}{2}-இலிருந்து \frac{3}{8}x+\frac{1}{24}y=\frac{13}{8}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x-3y-\frac{1}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

-\frac{3x}{8}-க்கு \frac{3x}{8}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் \frac{3x}{8} மற்றும் -\frac{3x}{8} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-3y-\frac{1}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

-\frac{y}{24}-க்கு -3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{73}{24}y=-\frac{15}{2}-\frac{13}{8}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{13}{8} உடன் -\frac{15}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$-\frac{73}{24}y=-\frac{73}{8}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{73}{24}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=3$$

3x+\frac{1}{3}y=13-இல் y-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x+\frac{1}{3}\times 3=13$$

3-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$3x+1=13$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 1-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=12$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=3$$