{l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 25,10-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 50-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\times 27x+45y=50400$$

2 மற்றும் 27-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 54.

$$54x+45y=50400$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$54x+45y=50400$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 45y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$54x=-45y+50400$$

இரு பக்கங்களையும் 54-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

-45y+50400-ஐ \frac{1}{54} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

பிற சமன்பாடு \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028-இல் x-க்கு -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

-\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}-ஐ \frac{11}{10} முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

\frac{43y}{5}-க்கு -\frac{11y}{12}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{3080}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{461}{60}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{80}{461}$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}-இல் y-க்கு \frac{80}{461}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{80}{461}-ஐ -\frac{5}{6} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{200}{1383} உடன் \frac{2800}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{430200}{461}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 25,10-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 50-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\times 27x+45y=50400$$

2 மற்றும் 27-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 54.

$$54x+45y=50400$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 25,10-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 50-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\times 27x+45y=50400$$

2 மற்றும் 27-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 54.

$$54x+45y=50400$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

54x மற்றும் \frac{11x}{10}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் \frac{11}{10}-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 54-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

எளிமையாக்கவும்.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440-இலிருந்து \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

-\frac{297x}{5}-க்கு \frac{297x}{5}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் \frac{297x}{5} மற்றும் -\frac{297x}{5} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

-\frac{2322y}{5}-க்கு \frac{99y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

-55512-க்கு 55440-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{4149}{10}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{80}{461}$$

\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028-இல் y-க்கு \frac{80}{461}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{80}{461}-ஐ \frac{43}{5} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{688}{461}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{11}{10}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=\frac{430200}{461}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$